(A) Problema para ajudar na escola: Certo número natural

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

• Todos os números naturais não nulos e menores que [tex]N[/tex] são divisores de [tex]720720[/tex].

Solução

Como o problema trata de divisores de [tex]720720[/tex], vamos fazer a decomposição desse número em fatores primos:

[tex]\begin{array}{r|l}720720 & 2\\360360 & 2\\180180 & 2\\90090 & 2 \\45045 & 3 \\15015 & 3 \\5005 & 5 \\1001& 7 \\143& 11 \\13 & 13\\ 1 & \boxed{2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13}\end{array}[/tex]

A partir da fatoração [tex]720720=2^4\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1 \, [/tex], podemos observar que:

• Como [tex]17[/tex] não é divisor de [tex]720720[/tex], então o número [tex]N[/tex] procurado não pode ser maior do que [tex]17[/tex], já que todos os números não nulos e menores que [tex]N[/tex] devem ser divisores de [tex]720720.[/tex]
• Todos os números de [tex]1[/tex] a [tex]16[/tex] são divisores de [tex]720720.[/tex] Para justificar essa afirmação, basta observar que:
• [tex]9=3^2[/tex]
• [tex]10=2^1\cdot 5^1[/tex]
• [tex]11=11^1[/tex]
• [tex]12=2^2\cdot 3^1[/tex]
• [tex]13=13^1[/tex]
• [tex]14=2^1\cdot 7^1[/tex]
• [tex]15=3^1\cdot 5^1[/tex]
• [tex]16=2^4[/tex]
• [tex]1[/tex] é divisor de qualquer número natural
• [tex]2=2^1[/tex]
• [tex]3=3^1[/tex]
• [tex]4=2^2[/tex]
• [tex]5=5^1[/tex]
• [tex]6=2^1\cdot 3^1[/tex]
• [tex]7=7^1[/tex]
• [tex]8=2^3[/tex]

Portanto, o maior número natural [tex]N[/tex] com a propriedade requerida é o [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$17$} \, .[/tex]

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