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Problema
(Indicado para [tex]3^\circ[/tex] Ano EM)
Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais positivos tais que [tex]a \lt b+c[/tex], [tex]b \lt a+c[/tex] e [tex]c \lt a+b[/tex], resolva o sistema abaixo no conjunto dos números reais positivos.
\sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a\\
\sqrt{yz}+\sqrt{yx}-y=b\\
\sqrt{zx}+\sqrt{zy}-z=c \\
\end{cases}~~[/tex].
Extraído de Revista do Clube de Matemáticos.
Solução
Observe que [tex]x \ne 0[/tex], [tex]y \ne 0[/tex] e [tex]z \ne 0[/tex]; pois, caso contrário, teríamos respectivamente [tex]a=0[/tex], [tex]b=0[/tex] e [tex]c=0[/tex], contrariando a hipótese de que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números positivos.
Assim, dividindo-se sequencialmente as equações do sistema em questão por [tex]\sqrt{x}[/tex], [tex]\sqrt{y}[/tex] e [tex]\sqrt{z}[/tex], respectivamente, temos:
[tex]\qquad \begin{cases}
\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{x}=\dfrac{a}{\sqrt{x}}\\
\sqrt{z}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}\\
\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}=\dfrac{c}{\sqrt{z}}\\
\end{cases}~~[/tex].
Agora, adicionando todas as equações, obtemos:
[tex]\qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\dfrac{a}{\sqrt{x}}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.[/tex]
Por outro lado, observe que
[tex]\qquad \dfrac{a}{\sqrt{x}} = \sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-2\sqrt{x}=\dfrac {a}{\sqrt{x}}+\dfrac {b}{\sqrt{y}}+\dfrac {c}{\sqrt{z}}-2\sqrt{x}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad \dfrac {b}{\sqrt{y}}+\dfrac {c}{\sqrt{z}} = 2\sqrt{x}.[/tex]
Dividindo a última equação por [tex]\sqrt{x}[/tex], temos:
[tex]\qquad \dfrac{b}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{xz}}=2.[/tex]
Analogamente, obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{a}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{yz}}=2[/tex]
[tex]\qquad\dfrac{a}{\sqrt{xz}}+\dfrac{b}{\sqrt{yz}}=2[/tex]
e, com isso, agora temos o seguinte sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}
\dfrac{b}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{xz}}=2\\
\dfrac{a}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{yz}}=2\\
\dfrac{a}{\sqrt{xz}}+\dfrac{b}{\sqrt{yz}}=2\\
\end{cases}~~[/tex].
Vamos fazer [tex]\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=u[/tex], [tex]\dfrac{1}{\sqrt{xz}}=v[/tex] e [tex]\dfrac{1}{\sqrt{yz}}=w[/tex]; dessa forma, o sistema anterior passa a ser escrito como:
[tex]\qquad \begin{cases}
bu+cv=2 \qquad \textcolor{#800000}{(I)}\\
au+cw=2 \qquad \textcolor{#800000}{(II)}\\
av+bw=2 \qquad \textcolor{#800000}{(III)}\\
\end{cases}~~[/tex].
De [tex](I)[/tex], obtemos
[tex]\qquad v=\dfrac{2-bu}{c} \qquad \textcolor{#800000}{(IV)}[/tex].
Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(IV)}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(III)}[/tex], pode-se formar um novo sistema com a equação [tex] \textcolor{#800000}{(II)}[/tex]; veja:
[tex]\qquad\begin{cases}
au+cw=2\\
a \left(\dfrac{2-bu}{c}\right)+bw=2\\
\end{cases}~.[/tex]
Após algumas continhas, obtemos:
[tex]\qquad\begin{cases}
au+cw=2\\
-abu+bwc=2c-2a\\
\end{cases}~.[/tex]
Ao resolvermos o último sistema, obtemos: [tex]w=\dfrac{-a+b+c}{bc}[/tex] e [tex]u=\dfrac{a+b-c}{ab}[/tex]; usando a equação [tex]\textcolor{#800000}{(I)}[/tex], obtemos [tex]v=\dfrac{a-b+c}{ac}[/tex].
Agora, como [tex]\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=u[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{xy}}=\dfrac{a+b-c}{ab}\\
\qquad xy=\dfrac{a^2b^2}{(a+b-c)^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(V)}[/tex]
Observe que de [tex]\dfrac{1}{\sqrt{xz}}=v[/tex] segue que:
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{xz}}=\dfrac{a-b+c}{ac} \\
\qquad xz=\dfrac{a^2c^2}{(a-b+c)^2} \qquad \textcolor{#800000}{(VI)}[/tex]
e de [tex] \dfrac{1}{\sqrt{yz}}=w[/tex] obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{1}{\sqrt{yz}}=\dfrac{-a+b+c}{bc} \\
\qquad yz=\dfrac{b^2c^2}{(-a+b+c)^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(VII)}[/tex]
Multiplicando [tex]\textcolor{#800000}{(V)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(VI)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(VII)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad x^2y^2z^2=\dfrac{a^4b^4c^4}{(a+b-c)^2(a-b+c)^2(-a+b+c)^2}.[/tex]
Extraindo a raiz quadrada dessa última expressão, temos:
[tex]\qquad xyz=\dfrac{|a^2b^2c^2|}{|a+b-c||a-b+c||-a+b+c|}.[/tex]
Como as expressões que aparecem nos módulos são todas positivas,
[tex]\qquad xyz=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}[/tex]
e, assim:
- [tex]x=\dfrac{xyz}{yz}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(-a+b+c)^2}{b^2c^2}\\
\boxed{x=\dfrac{a^2(-a+b+c)}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}};[/tex] - [tex]y=\dfrac{xyz}{xz}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(a-b+c)^2}{a^2c^2}\\
\boxed{y=\dfrac{b^2(a-b+c)}{(a+b-c)(-a+b+c)}};[/tex] - [tex]z=\dfrac{xyz}{xy}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(a+b-c)^2}{a^2b^2}\\
\boxed{z=\dfrac{c^2(a+b-c)}{(a-b+c)(-a+b+c)}}.[/tex]
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