.Sala de Estudo: Sequências Numéricas – Sala 3

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Sequências Numéricas – Problemas

Problema 1


(PUC-RIO 2008) Na sequência [tex](1, 3, 7,\cdots ),[/tex] cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a [tex]15.[/tex] Determine o décimo termo.

Problema 2


(ITA 2000) O valor de [tex]n[/tex] que torna a sequência [tex](2 + 3n, -5n, 1 – 4n)[/tex] uma progressão aritmética pertence ao intervalo
a) [tex][-2, -1].[/tex]
b) [tex][-1, 0].[/tex]
c) [tex][0, 1].[/tex]
d) [tex][1, 2].[/tex]
e) [tex][2, 3].[/tex]

Problema 3


(FUVEST 2012) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por:
[tex]\qquad a_1 = 1 + x, ~~a_2 = 6x, ~~a_3 = 2x^2 + 4,[/tex]
em que [tex]x[/tex] é um número real.
a) Determine os possíveis valores de [tex]x.[/tex]
b) Calcule a soma dos [tex]100[/tex] primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de [tex]x[/tex] encontrado no item a).

Problema 4


(Unicamp 2015 – Adaptada) Se [tex](a_1, a_2, \cdots, a_{13})[/tex] é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é igual a [tex]78,[/tex] determine o valor de [tex]a_7[/tex].

Problema 5


O triângulo retângulo representado na figura abaixo apresenta um perímetro igual a [tex]48~cm[/tex] e área igual a [tex]96~cm^2.[/tex] Quais são as medidas de [tex]x, y[/tex] e [tex]z,[/tex] se, nesta ordem, esses números formam uma PA?

Problema 6


(FUVEST 2008 – Adaptada) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale [tex]1[/tex] e a soma dos dois últimos vale [tex]9.[/tex] Calcule a razão da progressão.

Problema 7


(UFRGS 2015) Para fazer a aposta mínima na Mega-Sena, uma pessoa deve escolher [tex]6[/tex] números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de [tex]1[/tex] a [tex]60.[/tex] Uma pessoa escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira.
Com esse critério, é correto afirmar que:
a) essa pessoa apostou no número [tex]1.[/tex]
b) a razão da PG é maior do que [tex]3.[/tex]
c) essa pessoa apostou no número [tex]60.[/tex]
d) a razão da PG é [tex]3.[/tex]
e) essa pessoa apostou somente em números ímpares.

Problema 8


(PUC/RIO 2017 – Adaptada) Os termos da soma [tex]S = 4 + 8 + 16 +\cdots + 2048[/tex] estão em progressão geométrica. Determine o valor de [tex]S[/tex].

Problema 9


(UERJ 2014 – Adaptada) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com [tex]40\text{ cm}[/tex] de comprimento, [tex]25\text{ cm}[/tex] de largura e [tex]20\text{ cm}[/tex] de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a [tex]0,5\text{ cm}^3.[/tex] Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Aproximadamente, quantas etapas serão necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente?

Problema 10


(UNICAMP 2015 – Adaptada) Seja [tex](a, b, c)[/tex] uma progressão geométrica de números reais com [tex]a\neq 0.[/tex] Definindo [tex]s = a + b + c,[/tex] determine o menor valor possível para [tex]\dfrac{s}{a}[/tex].

Problema 11


(Enem 2011 – Adaptada) O número mensal de passagens vendidas de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas [tex]33\,000[/tex] passagens; em fevereiro, [tex]34\,500;[/tex] em março, [tex]36\,000.[/tex] Esse padrão de crescimento se manteve nos meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

Problema 12


(Enem 2012 – Adaptada) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza [tex]52[/tex] cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
Quantas cartas formam o monte?

Problema 13


(Enem 2016 – Adaptada) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares [tex]1, 3, 5, 7,[/tex] e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares [tex]1, 4, 7, 10,[/tex] e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente [tex]10[/tex] andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

Problema 14


(Enem 2018 – Adaptada) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a [tex]80[/tex] metros dela, o segundo, a [tex]100[/tex] metros, o terceiro, a [tex]120[/tex] metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de [tex]20[/tex] metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de [tex]1\;380[/tex] metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, [tex]R$~8\,000[/tex] por poste colocado, determine o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes.

Problema 15


(UEPA – Adaptada) Um carro, cujo preço à vista é [tex]R$ ~24\,000,00,[/tex] pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em [tex]5[/tex] parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de [tex]R$ ~4\,000,00[/tex] e a quarta parcela de [tex]R$ ~1\,000,00.[/tex] Sabendo que no valor das parcelas não incidiu taxa de juros, quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?



Equipe COM – OBMEP

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