(A) Sala de Estudo: Sequências Numéricas – Sala 3

Conhecemos os três primeiros termos da sequência: [tex]a_1=1;~a_2=3;~a_3=7[/tex]; vamos determinar os próximos:
[tex]~~\\
\qquad a_4 = 2\cdot a_3+1 = 2\cdot 7+1 = 15;\\
\qquad a_5 = 2\cdot a_4+1 = 2\cdot 15+1 = 31;\\
\qquad a_6 = 2\cdot a_5+1 = 2\cdot 31+1 = 63;\\
\qquad a_7 = 2\cdot a_6+1 = 2\cdot 63+1 = 127;\\
\qquad a_8 = 2\cdot a_7+1 = 2\cdot 127+1 = 255;\\
\qquad a_9 = 2\cdot a_8+1 = 2\cdot 255+1 = 511;\\
\qquad \boxed{a_{10} = 2\cdot a_9+1 = 2\cdot 511+1 = 1023}.[/tex]

Seja [tex]r[/tex] a razão da progressão aritmética que queremos determinar.
Assim, se [tex]a_1[/tex], [tex]a_2[/tex] e [tex]a_3[/tex] são os três primeiros termos dessa progressão, sabemos que:
[tex] \qquad a_2-a_1=r \text{ e } a_3-a_2=r.[/tex]
Dessa forma:
[tex] \qquad a_2-a_1=a_3-a_2\\
\qquad a_2+a_2=a_3+a_1\\
\qquad 2a_2=a_3+a_1\\
\qquad a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}.[/tex]
Como a sequência foi dada como [tex](2 + 3n, -5n, 1 – 4n)[/tex], segue que:
[tex]\qquad -5n=\dfrac{(2+3n)+(1-4n)}{2}[/tex]
[tex]\qquad -10n=(2+3n)+(1-4n)[/tex]
[tex]\qquad -10n=-n+3[/tex]
[tex]\qquad 9n=-3[/tex]
[tex]\qquad \boxed{n=-\dfrac{1}{3}}.[/tex]

Portanto, [tex]n\in [-1, 0][/tex] e a alternativa correta é a b.

a) Como a progressão é aritmética, sabemos que [tex]a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}[/tex]; assim:
[tex]~~\\
\qquad 6x=\dfrac{(1+x)+(2x^2 + 4)}{2}[/tex]
[tex]\qquad 12x=(1+x)+(2x^2 + 4)[/tex]
[tex]\qquad 12x=2x^2+x+5[/tex]
[tex]\qquad 2x^2-11x+5=0.[/tex]
Utilizando a fórmula resolutiva para equações do segundo grau, temos:
[tex]\qquad x = \dfrac{-(-11)\pm \sqrt{(-11)^2-4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2}\\
\qquad x = \dfrac{11\pm \sqrt{121-40}}{4}\\
\qquad x = \dfrac{11\pm \sqrt{81}}{4}\\
\qquad x = \dfrac{11\pm 9}{4}[/tex]
[tex]\qquad x_1 = \dfrac{11+9}{4} = \dfrac{20}{4} = 5[/tex] e [tex]x_2 = \dfrac{11-9}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x_1 = 5}[/tex] e [tex]\boxed{x_2 = \dfrac{1}{2}}.[/tex]

b) O menor valor de [tex]x[/tex] encontrado no item a) é [tex]x=\dfrac{1}{2}[/tex]. Neste caso,
[tex]\qquad a_1 = 1+x=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}[/tex].
Além disso, a razão é
[tex]\qquad r = a_2-a_1=6x-(1+x)=5x-1=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2}[/tex].

Para calcularmos a soma dos primeiros 100 termos, observe que temos duas fórmulas: [tex]\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}~[/tex] e [tex]~\boxed{S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}[/tex]; logo, segue que:
[tex]~~\\
\qquad S_n = \dfrac{(a_1+[a_1+(n-1)\cdot r])\cdot n}{2}\\
\qquad S_n = \dfrac{(2a_1+(n-1)\cdot r)\cdot n}{2}\\
\qquad S_n = na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot r.\\
~~[/tex]
Portanto, a soma dos primeiros 100 termos da P.A., é
[tex]\qquad S_{100} = 100\cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{100\cdot 99}{2}\cdot \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad S_{100} = 150+4950\cdot \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\qquad S_{100} = 150+7425[/tex]
[tex]\qquad \boxed{S_{100} = 7575}.[/tex]

Pela soma dos n primeiros termos de uma P.A., temos que [tex]\boxed{S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}.[/tex]
Mas sabemos que [tex]\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}[/tex]; logo, segue que
[tex]~~\\
\qquad S_n = \dfrac{(a_1+[a_1+(n-1)\cdot r])\cdot n}{2}\\
\qquad S_n = \dfrac{(2a_1+(n-1)\cdot r)\cdot n}{2}\\
\qquad S_n = na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot r.\\
~~[/tex]
Assim, pelos dados do enunciado, segue que:
[tex]\qquad S_{13} = 13\cdot a_1+\dfrac{13\cdot 12}{2}\cdot r\\
\qquad 78 = 13\cdot (a_1+6\cdot r)\\
\qquad a_1+6\cdot r= 6\\
\qquad \boxed{a_7 = 6}.[/tex]

Sabemos que o perímetro do triângulo é [tex]48~cm[/tex] e a área é [tex]96~cm^2.[/tex]
Observe que o triângulo da figura é retângulo; logo o segmento de comprimento [tex]x[/tex] pode ser considerado a altura do triângulo relativa ao segmento de comprimento [tex]y.[/tex]
Portanto, temos o sistema
[tex]\\
\qquad S: \begin{cases}
x+y+z=48\\
\dfrac{x\cdot y}{2}=96
\end{cases}.\\
[/tex]
Como [tex]x,~y[/tex] e [tex]z[/tex] formam uma P.A., então [tex]y=x+r~[/tex] e [tex]~z=x+2r[/tex]. Substituindo essas expressões em [tex]S[/tex], segue que:
[tex]\\
\qquad \begin{cases}
x+(x+r)+(x+2r)=48\\
\dfrac{x\cdot (x+r)}{2}=96
\end{cases}\\
[/tex]
[tex]\qquad \begin{cases}x+r=16\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\\
x\cdot (x+r)=192 \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{cases}.\\
[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos
[tex]\qquad x\cdot 16=192\\
\qquad \boxed{x=12}.\\
[/tex]

Agora, substituindo o valor de [tex]x[/tex] na igualdade [tex]x+r=16[/tex], encontramos [tex]r=4.[/tex]
Logo, [tex]\boxed{y = 16}~[/tex] e [tex]~\boxed{z=20}.[/tex]

Suponhamos que os quatro primeiros termos da P.G. sejam [tex]a_1,~a_2,~a_3,~a_4[/tex]; assim, [tex]a_1+a_2 = 1~[/tex] e [tex]~a_3+a_4=9.[/tex]
Podemos, então, montar o seguinte sistema de equações:
[tex]\\
\qquad \begin{cases}
a_1+a_2 = 1\\
a_3+a_4=9
\end{cases}.\\
[/tex]
Como a progressão é geométrica, se [tex]q[/tex] for a sua razão, segue que:
[tex]\\
\qquad\begin{cases}
a_1+a_1\cdot q = 1\\
a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3=9
\end{cases}~\\
[/tex]
[tex]\\
\qquad\begin{cases}
a_1\cdot (1+q) = 1\\
a_1q^2\cdot (1+q)=9
\end{cases}~\\
[/tex]
[tex]\\
\qquad\begin{cases}
a_1\cdot (1+q) = 1\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\\
q^2\cdot[a_1\cdot (1+q)]=9 \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{cases}~.[/tex]

Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos
[tex]\\
\qquad q^2\cdot 1=9\Rightarrow q^2=9\\
\qquad q=\pm 3.[/tex]

Como o enunciado nos informa que os termos da progressão são todos positivos, então devemos desconsiderar [tex]q=-3[/tex]; pois, caso o fosse, teríamos uma P.G. oscilante, o que não é o caso. Logo, [tex]\boxed{q=3}.[/tex]

Sendo [tex]a_1[/tex] o menor número que essa pessoa apostou e [tex]q[/tex] a razão que ela utilizou para determinar o próximo número, então os números que ela apostou correspondem aos termos da sequência [tex](a_1,a_1q, a_1q^2, a_1q^3, a_1q^4, a_1q^5)[/tex].
Observe, inicialmente, que:

• a razão [tex]q[/tex] é um número natural;
• [tex]q\neq 0[/tex]; pois, caso contrário, teríamos cinco termos iguais a [tex]0[/tex] e isso não pode ocorrer, já que todos os seis termos devem ser diferentes e, de [tex]1[/tex] a [tex]60[/tex]);
• [tex]q\neq 1[/tex], pois se fosse [tex]q=1[/tex], teríamos todos os números iguais.

Assim, devemos ter [tex]q\geq 2.[/tex] No entanto, perceba que

• para [tex]q=3[/tex] teríamos [tex]a_5= a_1\cdot q^4=81a_1[/tex]. Portanto, ainda que tivéssemos [tex]a_1=1[/tex], teríamos [tex]a_5=81[/tex], o que também não pode ocorrer, já que o maior número disponível para fazer aposta é [tex]60[/tex], ou seja, [tex]q[/tex] não pode ser igual a [tex]3[/tex], tampouco um número maior. Logo, [tex]\boxed{q=2}.[/tex]

Com isso, já podemos descartar os itens b), d) e e).

• Agora, repare que se essa pessoa tiver apostado no número [tex]60[/tex], então este teria sido o maior número apostado, ou seja, [tex]a_6[/tex]. Consequentemente, teríamos [tex]a_5=\dfrac{60}{2}=30; ~~a_4=\dfrac{30}{2}=15; ~~a_3=\dfrac{15}{2}=7,5;[/tex] e, portanto, novamente teríamos um problema, pois todos os números apostados devem ser números inteiros.

Logo, o item correto é a).
Com efeito, se tivéssemos [tex]a_1\geq 2[/tex], então [tex]a_6 = a_1\cdot q^5=32a_1\geq 64[/tex], o que também não pode ocorrer.
Assim, de fato, [tex]a_1=1[/tex] e, consequentemente, os números apostados foram: [tex]1~,2,~4,~8,~16 \text{ e }32.[/tex]

Precisamos saber quantos termos tem a P.G. em questão. Assim, sendo [tex]a_n[/tex] o último termo, temos
[tex]\qquad a_n=2048[/tex]
[tex]\qquad a_1\cdot q^{n-1}=2048[/tex]
[tex]\qquad 4\cdot 2^{n-1}=2048[/tex]
[tex]\qquad 2^{n+1}=2048[/tex]
[tex]\qquad 2^{n+1}=2^{11}[/tex]
[tex]\qquad n+1=11[/tex]
[tex]\qquad n=10.[/tex]

Assim, como a P.G. tem 10 termos, já podemos usar a fórmula da soma dos termos da P.G.:
[tex]\qquad S = S_{10}=\dfrac{4\cdot (2^{10}-1)}{2-1}\\
\qquad S = 4\cdot 1023\\
\qquad \boxed{S = 4092}.[/tex]

Observe que:

• A sequência cujos termos indicam o volume de bolinhas que está sendo acrescentado no recipiente a cada etapa é
  [tex]\qquad (0,5;~0,5\cdot 2;~0,5\cdot 2^2;~0,5\cdot 2^3;~\cdots).[/tex]
• O volume do recipiente no qual as esferas estão sendo colocadas é
  [tex] \qquad 40\times 25\times 20 = 20\;000\;\text{cm}^3.[/tex]

Assim, se [tex]n[/tex] é o número mínimo de etapas tal que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente, segue que:
[tex]\qquad 0,5+0,5\cdot 2+0,5\cdot 2^2+0,5\cdot 2^3+\cdots+0,5\cdot 2^{n-1}\gt 20\;000\\
\qquad S_n\gt 20\;000\\
\qquad \dfrac{0,5\cdot (2^n-1)}{2-1}\gt 20\;000\\
\qquad 0,5\cdot (2^n-1)\gt 20\;000\\
\qquad 2^n-1\gt 40\;000\\
\qquad 2^n\gt 40\;001.[/tex]

Agora, observe que [tex]2^{15} = 32\;768~[/tex] e [tex]~2^{16} = 65\;536;[/tex] logo, devemos ter [tex]2^n= 2^{16}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{n=16}.[/tex]
Portanto, o menor número de etapas é [tex]16.[/tex]

Sendo [tex]q[/tex] a razão da P.G. em questão, temos [tex]b=aq[/tex] e [tex]c=aq^2[/tex]. Portanto,
[tex]\qquad \dfrac{s}{a}=\dfrac{a+b+c}{a}\\
\qquad \dfrac{s}{a}=\dfrac{a+aq+aq^2}{a}\\
\qquad \dfrac{s}{a}=\dfrac{a(1+q+q^2)}{a}\\
\qquad \dfrac{s}{a}=1+q+q^2.[/tex]

Considere a função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(q) = 1+q+q^2[/tex] e observe que o menor valor de [tex]\dfrac{s}{a}[/tex] ocorre quando [tex]f(q) = 1+q+q^2[/tex] admite o menor valor possível.
Repare que [tex]f[/tex] é uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima. Assim, o menor valor possível de [tex]\dfrac{s}{a}[/tex] é dado pela coordenada “[tex]y[/tex] do vértice da parábola” ([tex]y_v[/tex]); então, vamos calcular esse valor:
[tex]\qquad y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\\
\qquad y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\
\qquad y_v=-\dfrac{1^2-4\cdot 1\cdot 1}{4\cdot 1}\\
\qquad y_v=-\dfrac{-3}{4}\\
\qquad \boxed{y_v=\dfrac{3}{4}}.[/tex]

As quantidades de passagens vendidas correspondem aos termos de uma P.A. cujo primeiro termo é [tex]33\;000[/tex] e a razão é [tex]1\;500[/tex].
A quantidade de passagens vendidas no mês de julho corresponde ao sétimo termo dessa P.A. e
[tex]\qquad a_7 = 33\;000+6\cdot 1\;500[/tex]
[tex]\qquad a_7 = 33\;000+9\;000[/tex]
[tex]\qquad a_7 = 42\;000.[/tex]

Logo, em julho foram vendidas [tex]42\;000[/tex] passagens.

As cartas organizadas por colunas formam uma P.A. de razão [tex]1: (1,2,3,4,5,6,7).[/tex]
Assim, a soma do total de cartas nas colunas é dada por:
[tex]\qquad S_7 = \dfrac{(1+7)\cdot 7}{2}\\
\qquad S_7 = 28.[/tex]

Portanto o total de cartas no monte é [tex]52-28=\boxed{24}.[/tex]

Os andares em que foram realizados reparos tanto na parte elétrica como na hidráulica foram os andares cujas numerações são termos da P.A. [tex](1,7,13,19,\cdots)[/tex], cujo primeiro termo é [tex]a_1=1[/tex] e razão [tex]r=6[/tex] (observe que a razão [tex]r[/tex] é o mmc das razões [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] das sequências iniciais cujos termos são [tex]1, 3, 5, 7[/tex], etc. e [tex]1, 4, 7, 10[/tex], etc.).
Assim, o número de andares desse edifício corresponde ao décimo termo da P.A. acima. Portanto,
[tex]\qquad a_{10} = 1+(10-1)\cdot 6\\
\qquad a_{10} = 1+9\cdot 6\\
\qquad \boxed{a_{10} = 55}[/tex]
e, com isso, concluímos que o edifício possui [tex]55[/tex] andares.

As distâncias dos postes à praça podem ser representadas pela P.A. [tex](80, 100, 120, \cdots, 1\;380)[/tex]. Observe que o primeiro termo é [tex]a_1=80[/tex] e a razão é [tex]r=20.[/tex]
Seja [tex]a_n[/tex] o último termo da sequência, ou seja, [tex]a_n = 1\;380.[/tex] Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos
[tex]\qquad a_n = 1\;380\\
\qquad a_1+(n-1)\cdot r= 1\;380\\
\qquad 80+(n-1)\cdot 20= 1\;380\\
\qquad (n-1)\cdot 20= 1\;300\\
\qquad (n-1)= 65\\
\qquad n= 66,[/tex]
ou seja, deverão ser instalados [tex]66[/tex] postes.

Como o valor máximo que pode ser gasto para colocar cada poste corresponde a [tex]R$~8\,000[/tex], então o valor máximo para colocar os [tex]66[/tex] postes é dado pelo produto [tex]66\times 8\;000 = 528\;000, [/tex] ou seja, [tex] \boxed{R$~528\;000}.[/tex]

Como a segunda e a quarta parcelas são de [tex]R$ ~4\,000,00[/tex] e [tex]R$ ~1\,000,00[/tex], respectivamente, temos a seguinte P.G.:
[tex]\quad (a_1, 4\;000, a_3, 1\;000, a_5).[/tex]
Neste caso, pela propriedade que vimos de P.G., temos
[tex]\quad a_3 = \sqrt{4\;000\times 1\;000}[/tex]
[tex]\quad \boxed{a_3 = 2\;000}.[/tex]
Portanto, a razão [tex]q[/tex] é dada por:
[tex]\quad q = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{2\;000}{4\;000} = \dfrac{1}{2}.[/tex]

Como [tex]a_2 = a_1q[/tex], segue que:
[tex]\quad 4\;000 = a_1\cdot \dfrac{1}{2}\\
\quad \boxed{a_1 = 8\;000}.[/tex]

Por fim, o último termo da P.G. é dado por
[tex]\quad a_5 = a_4\cdot q\\
\quad a_5= 1\;000\cdot \dfrac{1}{2}\\
\quad \boxed{a_5=500}.[/tex]

Logo, o valor pago de entrada foi
[tex]\quad Entrada=24\;000-(8\;000+4\;000+2\;000+1\;000+500)\\
\quad Entrada= 24\;000-15\;500\\
\quad Entrada = \boxed{R$~8\;500}.[/tex]