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Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Qual o menor número natural que multiplicado por 10! resulta em um cubo perfeito não nulo?
Lembrete
✐ Se n é um número natural tal que n>1, chamamos de fatorial de n e denotamos por n! o produto n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1, ou seja, o resultado de multiplicar n por todos os números naturais não nulos anteriores a n:
n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋯⋅2⋅1.
Particularmente, os fatoriais de 0 e 1 são, respectivamente, assim definidos:
0!=1
1!=1.
Solução
- Convém lembrar que um número inteiro positivo é dito um cubo perfeito se, escrito como produto de números primos positivos, tiver todos os seus fatores com expoentes múltiplos de 3.
Assim, vamos escrever o número 10! como produto de números primos:
10!=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
10!=(5⋅2)⋅32⋅23⋅7⋅(2⋅3)⋅5⋅22⋅3⋅2⋅1
10!=28⋅34⋅52⋅7.
Para que os expoentes dos números primos que aparecem na decomposição de 10! sejam todos múltiplos de 3, e os menores possíveis, teremos que multiplicar 10! por 2⋅32⋅5⋅72.
Observe:
10!⋅(2⋅32⋅5⋅72)=28⋅34⋅52⋅7⋅(2⋅32⋅5⋅72)=(28⋅2)⋅(34⋅32)⋅(52⋅5)⋅(7⋅72)=29⋅36⋅53⋅73
e 29⋅36⋅53⋅73 é um cubo perfeito!
Assim, o menor número pelo qual devemos multiplicar 10! para obtermos um cubo perfeito é, de fato, 2⋅32⋅5⋅72=4410.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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