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Nesta Sala vamos discutir e responder, essencialmente, duas perguntas. Vamos lá!
Pergunta 1: Dadas duas funções [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex]
|
[tex]\qquad \begin{eqnarray*} f:~A &\rightarrow & B\\ x&\mapsto & y \end{eqnarray*}[/tex] |
[tex]\qquad \begin{eqnarray*} g:~B &\rightarrow & C\\ y&\mapsto & z \end{eqnarray*}[/tex] |
podemos combiná-las para obter uma função que leve [tex]x[/tex] diretamente para [tex]z[/tex] ?
A resposta é sim.
Podemos definir para isso uma função conhecida como “função de função”; mas, formalmente, denominada função composta.
Pergunta 2: Dada uma função [tex]f[/tex]
[tex]\qquad\qquad \begin{eqnarray*}
f:~A &\rightarrow & B\\
x&\mapsto & y
\end{eqnarray*}[/tex]
é possível obter uma função que traga o elemento [tex]y[/tex] de volta para [tex]x[/tex] ?
A resposta aqui não é certeira!
Para algumas funções é possível fazermos essa volta. Esse tipo de função é o que definiremos como função invertível.
Função Composta
Considere os conjuntos [tex]A = \{-1,0,1,2\}[/tex], [tex]B = \{0,1,2,3,4, 5\}[/tex], [tex]C = \{0,1,2,3,4\}[/tex] e [tex]D = \{-1,0,1,2,3\}[/tex] e as funções
|
[tex]f: A\rightarrow B\\ f(x)=x^2 [/tex] |
[tex]~~g: C\rightarrow D \\ g(x)=x-1[/tex] |
Observem o diagrama abaixo e notem que o conjunto imagem da função [tex]f[/tex] é subconjunto do domínio de [tex]g[/tex].
Agora, acompanhem este esqueminha
[tex]\qquad \qquad \begin{align}
-1&\stackrel{f}{\longmapsto} 1\stackrel{g}{\longmapsto} 0\\
0&\stackrel{f}{\longmapsto} 0\stackrel{g}{\longmapsto} -1\\
1&\stackrel{f}{\longmapsto} 1\stackrel{g}{\longmapsto} 0\\
2&\stackrel{f}{\longmapsto} 4\stackrel{g}{\longmapsto} 3
\end{align}[/tex]
e percebam que para cada elemento de [tex]A[/tex] existe um único correspondente em [tex]D[/tex].
Dessa forma, podemos definir uma função [tex]h[/tex] de [tex]A[/tex] em [tex]D[/tex], tal que [tex]h(-1) = 0,\,h(0) = -1,\, h(1) = 0\,[/tex] e [tex]\,h(2) = 3[/tex], conforme ilustra a imagem a seguir.
Essa função [tex]h[/tex] é chamada de função composta de [tex]g[/tex] com [tex]f[/tex] e é denotada por [tex]g\circ f[/tex] (leia-se “[tex]g[/tex] composta com [tex]f[/tex]” ou “[tex]g[/tex] bola [tex]f[/tex]”).
Portanto, sendo [tex]h = g\circ f[/tex], temos [tex]h(x) = (g\circ f)(x) = g(f(x))[/tex]. De fato,
● [tex]h(-1) = g(f(-1)) = g(1) = 0[/tex];
● [tex]h(0) = g(f(0)) = g(0) = -1[/tex];
● [tex]h(1) = g(f(1)) = g(1) = 0[/tex];
● [tex]h(2) = g(f(2)) = g(4) = 3[/tex].
Vejam que a lei que determina a função [tex]h[/tex] fica assim definida:
[tex]\qquad h(x) = g(f(x))[/tex]
[tex]\qquad h(x) = g(x^2)[/tex]
[tex]\qquad h(x) = x^2-1.[/tex]
Bem, agora já podemos apresentar uma definição formal do que é uma composição de funções.
Assim, para obter a imagem de um elemento [tex]x[/tex] pela função composta [tex]g\circ f[/tex], deve-se aplicar os seguintes passos:
► aplica-se a [tex]x[/tex] a função [tex]f[/tex], obtendo-se [tex]f(x)[/tex];
► aplica-se a [tex]f(x)[/tex] a função [tex]g[/tex], obtendo-se [tex]g(f(x))[/tex].
Veja que o menor valor que a função [tex]f[/tex] pode assumir é quando [tex]x=0[/tex], ou seja, o menor valor que [tex]f[/tex] assume é [tex]f(0) = 2[/tex]. Além disso, para qualquer valor [tex]y\gt 2[/tex], existe [tex]x[/tex] real tal que [tex]f(x) = y[/tex].
Assim, o conjunto imagem de [tex]f[/tex] é o intervalo [tex][2,+\infty[[/tex], ou seja, [tex]Im(f)=\{x \in \mathbb{R} \text{ tais que } x \geq 2\}[/tex]; e este conjunto está contido no domínio da função [tex]g[/tex], isto é, [tex][2,+\infty[\subset\mathbb{R}[/tex].
Portanto, podemos definir a função composta [tex]h[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex], tal que
[tex]\qquad h(x) = g(f(x)) = (x^2+2)+1 = x^2+3[/tex].
Do mesmo modo, note que o conjunto imagem da função [tex]g[/tex] está contido no domínio da função [tex]f[/tex]. Então, podemos definir a função composta [tex]k[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] tal que
[tex]\qquad k(x) = f(g(x)) = (x+1)^2+2 = x^2+2x+3[/tex].
É importante perceber que a existência da função composta [tex]g\circ f[/tex] não garante a existência da composta [tex]f\circ g[/tex] e vice-versa, como é o caso das funções apresentadas na introdução desta seção, um pouco mais acima:
[tex]\qquad \begin{eqnarray*}
f:~A=\{-1,0,1,2\} &\rightarrow & B=\{0,1,2,3,4, 5\}\\
x&\mapsto & x^2
\end{eqnarray*}[/tex]
e
[tex]\qquad \begin{eqnarray*}
g:~C=\{0,1,2,3,4\} &\rightarrow & D=\{-1,0,1,2,3\}\\
x&\mapsto & x-1 . \end{eqnarray*}[/tex]
Lá, definimos a função [tex]h: A\rightarrow D[/tex] dada por [tex]h = g\circ f[/tex]; mas não podemos definir uma função [tex]k: C\rightarrow B[/tex] dada por [tex]k = f\circ g[/tex]. Observe que
- o conjunto imagem da função [tex]g[/tex] é [tex]Im(g)=\{-1,0,1,2,3\}[/tex]
- o domínio da função [tex]f[/tex] é [tex]D(f)=\{ -1,0,1,2\}[/tex]
e, portanto, [tex]Im(g)\not\subset D(f).[/tex]
Perceba que, neste caso, o [tex]3[/tex], que é imagem do [tex]4[/tex] pela [tex]g[/tex], não tem imagem pela [tex]f[/tex] e, portanto, o [tex]4[/tex] não teria imagem pela composta [tex]f\circ g.[/tex]
A composição de funções terá papel essencial no estudo de funções invertíveis que faremos nesta Sala. Mas antes, precisaremos conhecer mais duas propriedades de funções, igualmente importantes no estudo das funções invertíveis.
Se você precisar de mais exemplos envolvendo composição de funções, clique no botão abaixo; caso contrário, continue com a leitura nesta Sala.
Função Injetiva
Para introduzir esta seção, vamos estudar dois exemplos de funções:
Considere os conjuntos [tex]A = \{-2, -1, 0, 1\}~[/tex] e [tex]B = \{0, 1, 2, 3, 4\}[/tex] e a função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] dada por [tex]f(x) = x+2[/tex].
Quaisquer dois elementos distintos de [tex]A[/tex] possuem imagens distintas em [tex]B[/tex]. Observe:
● [tex]f(-2)=-2+2=\textcolor{red}{0};[/tex]
● [tex]f(-1)=-1+2=\textcolor{red}{1};[/tex]
● [tex]f(0)=0+2=\textcolor{red}{2};[/tex]
● [tex]f(1)=1+2=\textcolor{red}{3}.[/tex]
Considere agora a função [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]g(x) = 2x[/tex].
Novamente, o que se pode observar é que quaisquer dois elementos distintos de [tex]D(g)[/tex] possuem imagens distintas em [tex]\mathbb{R}[/tex].
De fato, sejam [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] elementos de [tex]D(g)[/tex].
Se [tex]\boxed{x_1 \neq x_2}[/tex], então [tex]2x_1 \neq 2x_2[/tex], o que implica que [tex]\boxed{g(x_1)\neq g(x_2)}.[/tex]
Como podemos perceber, as duas funções definidas acima possuem a mesma propriedade: quaisquer dois elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio. Sempre que uma função apresentar essa propriedade, ela recebe um nome especial, conforme definição a seguir.
Graficamente, o que essa definição nos diz é que dada uma função [tex]f:A\rightarrow B[/tex], esta é injetiva se qualquer reta horizontal cruza o gráfico da função [tex]f[/tex] em, no máximo, um ponto (Caso contrário, teríamos elementos distintos do domínio com a mesma imagem.).
Veja a ilustração abaixo.
(1) Considere a função [tex]f:\mathbb{R}^*\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]f(x)=\dfrac{1}{x}[/tex].
Dados [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] em [tex]\mathbb{R}^*[/tex] tais que [tex]\boxed{x_1\neq x_2}[/tex], temos [tex]\dfrac{1}{x_1}\neq \dfrac{1}{x_2}[/tex], o que implica em [tex]\boxed{f(x_1)\neq f(x_2)}.[/tex]
Portanto, [tex]f[/tex] é uma função injetiva.
(2) Seja a função [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]g(x)=2x+7[/tex].
Dados [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex], com [tex]x_1\neq x_2[/tex], temos [tex]g(x_1)=2x_1+7 \neq 2x_2+7= g(x_2)[/tex], o que implica que [tex]g[/tex] também é injetiva.
(3) Considere a função [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]h(x) =-x^2[/tex].
Dado [tex]x_1[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex], com [tex]x_1\neq 0[/tex], temos [tex]h(x_1) = -x_1^2=-\left(-x_1\right)^2=h(-x_1)[/tex]. Particularmente, [tex]h(-1)=h(1)=1[/tex] e [tex]-1\ne 1.[/tex]
Logo, [tex]h[/tex] não é injetiva.
Uma pergunta interessante nesta discussão é a seguinte: se observarmos que dois elementos [tex]x_1\,[/tex] e [tex]\,x_2[/tex] do domínio de uma função injetiva [tex]f[/tex] têm a mesma imagem, o que podemos afirmar sobre esses elementos?
Bem, observe que se [tex]x_1\,[/tex] e [tex]\,x_2[/tex] fossem elementos distintos, [tex]x_1\ne x_2[/tex], pela injetividade de [tex]f[/tex] deveríamos ter [tex]f(x_1) \ne f(x_2)[/tex], não é?
Assim, se [tex]f[/tex] é uma função injetiva, então imagens iguais vêm de elementos iguais ([tex]f(x_1)= f(x_2)\Rightarrow x_1= x_2[/tex]).
Assim, podemos reescrever a definição de injetividade da seguinte maneira:
Função Sobrejetiva
Antes de definirmos função sobrejetiva, vamos ver alguns exemplos.
Considere os conjuntos [tex]A = \{-2, -1, 0, 1\}[/tex] e [tex]B = \{1, 2, 5\}[/tex] e a função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] dada por [tex]f(x) = x^2+1[/tex].
Para todo elemento [tex]y[/tex] de [tex]B[/tex] existe um elemento [tex]x[/tex] de [tex]A[/tex] tal que [tex]y = f(x)[/tex], ou seja, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio de [tex]f[/tex]. Observe:
● [tex]f(-2) = (-2)^2+1 = 5;[/tex]
● [tex]f(-1) = (-1)^2+1 = 2;[/tex]
● [tex]f(0) = 0^2+1 = 1;[/tex]
● [tex]f(1) = 1^2+1 = 2.[/tex]
Considere agora a função [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]g(x) = x^3[/tex].
Novamente, o que se pode observar é que para todo elemento [tex]y[/tex] do contradomínio de [tex]g[/tex], existe um elemento [tex]x[/tex] de [tex]D(g)[/tex] tal que [tex]y = g(x)[/tex], ou seja, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio de [tex]g[/tex]. De fato, dado [tex]y[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex], basta que encontremos [tex]x[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] tal que [tex]y = g(x)[/tex], ou seja, [tex]y = x^3[/tex]. Para tal, basta que tomemos [tex]x = \sqrt[3]{y}[/tex], pois neste caso, teremos [tex]g(x) = g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y[/tex].
Como podemos perceber, as duas funções definidas acima possuem a mesma propriedade: todo elemento do contradomínio é imagem de, pelo menos, um elemento do domínio. Sempre que uma função apresentar essa propriedade, ela recebe um nome especial, conforme definição a seguir.
Observe que, se [tex]f:A\rightarrow B[/tex] é sobrejetiva, então [tex]\,\fcolorbox{black}{#ECE4DA}{$ Im(f)=B $}\,.[/tex]
(1) Considere a função [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_+[/tex] dada por [tex]f(x) =x^2[/tex].
Dado [tex]y[/tex] um elemento qualquer do contradomínio de [tex]f[/tex], temos [tex]y\geq 0[/tex]. Para que a função seja sobrejetiva, deve existir [tex]x[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] tal que [tex]f(x) = y[/tex]. Para isso, basta que tomemos [tex]x = \pm\sqrt{y}[/tex], pois assim, temos [tex]f(x) = f(\pm\sqrt{y}) = (\pm\sqrt{y})^2 = y[/tex].
Logo, [tex]f[/tex] é uma função sobrejetiva.
(2) Diferentemente do exemplo anterior, a função [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]g(x) =x^2[/tex] não é sobrejetiva.
Com efeito, [tex]CD(g) = \mathbb{R}[/tex] e, considerando o elemento [tex]-1[/tex] de [tex]CD(g)[/tex], não existe nenhum elemento [tex]x[/tex] de [tex]D(g)[/tex] tal que [tex]g(x)=-1[/tex], pois não existe nenhum número real cujo quadrado resulta em um número negativo.
Função Bijetiva
(1) Dados os conjuntos [tex]A = \{-2, -1, 1, 2\}[/tex] e [tex]B = \{-1, 0, 2, 3\}[/tex], a função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] definida por [tex]f(x)=x+1[/tex] é injetiva e sobrejetiva, portanto, bijetiva.
(2) A função [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]g(x) =x^3[/tex] é injetiva e sobrejetiva, portanto, bijetiva.
(3) A função [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]h(x) =2^x[/tex] é injetiva, mas não sobrejetiva, pois, por exemplo, não existe [tex]x\in\mathbb{R}[/tex], tal que [tex]h(x) = -1[/tex]. Portanto, [tex]h[/tex] não é bijetiva.
Já temos condições de irmos para o segundo tema central desta Sala.
Mas se você quiser exercitar um pouco mais os conceitos de injetividade e sobrejetividade, é só clicar no botão abaixo.
Função Inversa
Vimos no início deste texto que “Uma função consiste de dois conjuntos não vazios [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] e uma lei, ou regra, que permite associar a cada elemento [tex]x \in A[/tex] um único elemento [tex]y\in B[/tex]”.
Assim, dados dois conjuntos não vazios [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], uma função [tex]f[/tex] de [tex]A[/tex] em [tex]B[/tex] faz corresponder a cada [tex]x[/tex] em [tex]A[/tex] um único elemento [tex]y[/tex] em [tex]B[/tex]. A ideia de função inversa é a de realizar a correspondência inversa, ou seja: se uma função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] associa a cada [tex]x[/tex] em [tex]A[/tex] um único elemento [tex]y[/tex] em [tex]B[/tex], então a função inversa de [tex]f[/tex] (Quando existir!) faz corresponder a cada [tex]y[/tex] em [tex]B[/tex] um único elemento [tex]x[/tex] em [tex]A[/tex], de tal forma que [tex]f(x) = y[/tex].
Observamos, intuitivamente, que para que uma função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] admita inversa é necessário que [tex]f[/tex] seja bijetora.
► De fato, [tex]f[/tex] precisa ser injetora, pois caso contrário, nem existiria função inversa de [tex]f[/tex], já que a possível candidata a inversa estaria associando pelo menos um elemento de [tex]B[/tex] a dois ou mais elementos de [tex]A[/tex].
► Além disso, [tex]f[/tex] precisa ser sobrejetora, senão, existiria pelo menos um elemento em [tex]B[/tex] que não seria associado a nenhum elemento de [tex]A[/tex], pela suposta inversa de [tex]f[/tex].
● [tex]f(1) = 3-4 = -1[/tex];
● [tex]f(2) = 6-4 = 2[/tex];
● [tex]f(3) = 9-4 = 5[/tex];
● [tex]f(4) = 12-4 = 8[/tex].
Observe que a função [tex]f[/tex] é bijetora, então ela admite uma função inversa. Se representarmos por [tex]g[/tex] a função inversa de [tex]f[/tex], então teremos [tex]g:B\rightarrow A[/tex] tal que
● [tex]g(-1) = 1[/tex];
● [tex]g(2) = 2[/tex];
● [tex]g(5) = 3[/tex];
● [tex]g(8) = 4[/tex].
Passemos à formalização da definição de função inversa.
Chamamos de função inversa de [tex]f[/tex] (e denotamos por [tex]f^{-1}[/tex]) a função [tex]f^{-1}: B\rightarrow A[/tex] definida por [tex]f^{-1}(y) = x[/tex], de tal forma que [tex]f(x) = y[/tex].
Nesse caso, dizemos que [tex]f[/tex] é invertível.
Observe que, para qualquer função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] que possua inversa, valem as seguintes propriedades:
► [tex](f^{-1}\circ f) (x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x[/tex];
► [tex](f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y[/tex].
► Com efeito, se [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são números reais tais que [tex]\boxed{f(x_1)=f(x_2)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 2x_1-3=2x_2-3\\
\qquad 2x_1=2x_2\\
\qquad \boxed{x_1=x_2}.[/tex]
Por outro lado, se [tex]\boxed{b \in \mathbb{R}}[/tex], tome [tex]a=\dfrac{b+3}{2}[/tex] e note que:
[tex]\qquad f\left(a\right)=f\left(\dfrac{b+3}{2}\right)\\
\qquad f\left(a\right)=2\cdot\dfrac{b+3}{2}-3\\
\qquad f\left(a\right)=b+3-3\\
\qquad \boxed{f\left(a\right)=b}.[/tex]
Agora, fazendo [tex]f(x) = y[/tex], segue que:
[tex]\qquad y=f(x)\\
\qquad y = 2x-3\\
\qquad x = \dfrac{y+3}{2}\\
\qquad f^{-1}(y) = \dfrac{y+3}{2}.[/tex]
Assim, a inversa de [tex]f[/tex] é [tex]f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]f^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{2}[/tex].
É interessante observar o comportamento dos gráficos de [tex]f[/tex] e da inversa [tex]f^{-1}[/tex].
Veja que se [tex]f(a)=b[/tex], então o ponto [tex](a,b)[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f[/tex]. Além disso, tem-se [tex]f^{-1}(b)=a[/tex], implicando que o ponto [tex](b,a)[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f^{-1}[/tex]. Ao marcar no plano cartesiano os pontos [tex](a,b)[/tex] e [tex](b,a)[/tex], conclui-se, pelo que já foi visto de simetria, que esses são simétricos com relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Como [tex]a[/tex] é um elemento qualquer do domínio [tex]D(f)[/tex] da função [tex]f[/tex], então os gráficos [tex]G(f)[/tex] e [tex]G(f^{-1})[/tex] são simétricos com relação à bissetriz. Veja uma ilustração desse fato:
A informação acima pode ser útil na prática quando queremos fazer o gráfico de [tex]f^{-1}[/tex] conhecendo-se apenas o de [tex]f[/tex], ou vice-versa.
Particularmente, podemos observar essa simetria entre os gráficos de uma função e de sua inversa a partir das funções consideradas no último exemplo:
Uma observação final: Em alguns casos, como o que foi apresentado no exemplo acima, é possível encontrar a fórmula da inversa seguindo os seguintes passos:
► escreve-se [tex]y=f(x)[/tex];
► isola-se a variável [tex]x[/tex];
► o resultado do isolamento no passo anterior é a imagem da inversa aplicada em [tex]y[/tex], ou seja, [tex]f^{-1}(y)[/tex].
Equipe COM – OBMEP