Sala 3 – Problemas e vídeos

Observe que os valores apresentados de [tex]x[/tex] referentes a [tex]g/m^2[/tex] aumentam de [tex]10[/tex] em [tex]10[/tex], à medida que os valores de [tex]t(x)[/tex] aumentam de [tex]0,06[/tex] em [tex]0,06[/tex]. Portanto, os aumentos acontecem de forma linear, o que implica que [tex]t[/tex] é uma função afim.
Considere [tex]t(x) = ax+b[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais.
Então, substituindo as duas primeiras colunas de dados da tabela na lei de formação de [tex]t(x)[/tex], segue que
[tex]\quad \begin{cases}t(10) = 7,24\\
t(20) = 7,30,
\end{cases}[/tex]
donde
[tex]\quad \begin{cases} 10a+b= 7,24\\
20a+b = 7,30.
\end{cases}\\
~~[/tex]
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos que:
[tex]\quad 10a = 0,06\\
\qquad a = 0,006.[/tex]
Substituindo o valor de [tex]a[/tex] na equação [tex]10a+b= 7,24[/tex], obtemos
[tex]\quad b = 7,24-10a\\
\quad b = 7,18.[/tex]
Logo, [tex]~\boxed{t(x) = 0,006x+7,18}.[/tex]

Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais tais que [tex]\boxed{(f \circ g)(x) = (f \circ g)(y)}.[/tex]
Então segue que:
[tex]\quad(f \circ g)(x) = (f \circ g)(y)\\
\quad f(g(x)) = f(g(y)).[/tex]
Como [tex]f[/tex] é injetiva, então [tex]g(x) = g(y).[/tex]
Agora, usando o fato de que [tex]g[/tex] é injetiva, temos [tex]\boxed{x = y}.[/tex]
Portanto, [tex]f\circ g[/tex] é injetiva.

Considere [tex]z\in\mathbb{R}.[/tex]

• Como [tex]f[/tex] é sobrejetiva, existe [tex]y\in\mathbb{R}[/tex] tal que [tex]f(y) = z.[/tex]
• Agora, usando o fato de que [tex]g[/tex] é sobrejetiva, existe [tex]x\in\mathbb{R},[/tex] tal que [tex]g(x) = y.[/tex]

Assim, mostramos que dado [tex]z\in\mathbb{R},[/tex] existe [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] tal que [tex]f(g(x)) = z.[/tex]
Portanto, [tex]f\circ g[/tex] é sobrejetiva.

Pelas propriedades da função [tex]f[/tex], temos o seguinte:
[tex]\qquad\begin{align}f(3+\sqrt{2}) &= f(3)\cdot f(\sqrt{2})\\
&=f(3)\cdot 4\\
&=f(2+1)\cdot 4\\
&=f(2)\cdot f(1)\cdot 4\\
&=f(2)\cdot 2\cdot 4\\
&=f(1+1)\cdot 8\\
&=f(1)\cdot f(1)\cdot 8\\
&=2\cdot 2\cdot 8\\
&=32.
\end{align}[/tex]

Consideremos todos os retângulos de perímetro [tex]2p[/tex].
Se, em um retângulo genérico, um dos lados mede [tex]x[/tex], então a medida dos lados perpendiculares a esse é [tex]p-x[/tex]. Assim, a área desse retângulo é [tex]\boxed{A(x) = x(p-x) = -x^2+px}.[/tex]
Veja que [tex]A[/tex] é uma função quadrática com concavidade voltada para baixo, então essa função admite valor máximo em
[tex]\qquad x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(p)}{2\cdot (-1)} = \dfrac{p}{2}[/tex].
Mas, sendo [tex]x=\dfrac{p}{2}[/tex], o retângulo possui todos os lados de mesma medida, sendo portanto um quadrado.

Se [tex]f[/tex] é uma função ímpar, então [tex]f(-x) = -f(x), \forall~x \in \mathbb{R}.[/tex]
Assim, se [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], segue que:
[tex]\qquad (f\circ f)(-x) = f(f(-x)) = f(-f(x)) = -f(f(x)) = -(f\circ f)(x)[/tex].
Logo, [tex]f\circ f[/tex] também é uma função ímpar.

Sejam [tex]x_1,x_2\in D(f)[/tex].
Se [tex]f(x_1) = f(x_2)[/tex], então temos que:
[tex]\qquad \dfrac{3x_1-5}{x_1-2} = \dfrac{3x_2-5}{x_2-2}\\
\qquad (x_2-2)(3x_1-5) = (x_1-2)(3x_2-5)\\
\qquad 3x_1x_2-6x_1-5x_2+10 = 3x_1x_2-5x_1-6x_2+10\\
\qquad x_1=x_2.[/tex]
Portanto, a função é injetiva.
Além disso, a função [tex]f[/tex] é sobrejetora, ou seja, dado [tex]y\in \mathbb{R}-\{3\}[/tex], existe [tex]x\in\mathbb{R}-\{2\}[/tex] tal que [tex]f(x) = y[/tex].
De fato, considerando [tex]x = \dfrac{5-2y}{3-y}[/tex], temos
[tex]\qquad \begin{align}f(x) &= f\left(\dfrac{5-2y}{3-y}\right)\\
&=\dfrac{3\left(\frac{5-2y}{3-y}\right)-5}{\left(\frac{5-2y}{3-y}\right)-2}\\
&=\dfrac{\left(\frac{15-6y-5(3-y)}{3-y}\right)}{\left(\frac{5-2y-2(3-y)}{3-y}\right)}\\
&=\dfrac{\left(\frac{-y}{3-y}\right)}{\left(\frac{-1}{3-y}\right)}\\
&=\dfrac{-y}{-1}\\
&=y.
\end{align}[/tex]
Logo, a função [tex]f[/tex] é bijetiva.
Agora vamos encontrar a função inversa de [tex]f[/tex]. Sendo [tex]f(x)= y[/tex], temos
[tex]\qquad \begin{align}
\dfrac{3x-5}{x-2} &= y\\
3x-5 &= y(x-2)\\
3x-5 &= xy-2y\\
3x-xy &= 5-2y\\
x(3-y) &= 5-2y\\
x &= \dfrac{5-2y}{3-y}\\
f^{-1}(y) &= \dfrac{5-2y}{3-y}.
\end{align}[/tex]
Ou seja, a função inversa de [tex]f[/tex] é [tex]f^{-1}:\mathbb{R}-\{3\}\rightarrow \mathbb{R}-\{2\}[/tex] dada por [tex]f^{-1}(x) = \dfrac{5-2x}{3-x}[/tex].

a) Observe que [tex]m(1) = 60[/tex] e [tex]m(2) = 40[/tex]. Assim,
[tex]\qquad \begin{cases}
\frac{C}{D+1} = 60\\
\frac{C}{D+2} = 40
\end{cases}.[/tex]
Isolando [tex]C[/tex] em cada uma das equações, temos [tex]C = 60(D+1)[/tex] e [tex]C = 40(D+2)[/tex]. Igualando as equações, temos
[tex]\qquad \begin{align}
60(D+1) &= 40(D+2)\\
60D+60 &= 40D+80\\
20D &= 20\\
D&=1.\end{align}[/tex]
Substituindo o valor de [tex]D[/tex] na primeira expressão de [tex]C[/tex], temos [tex]C=60(1+1)=120[/tex]. Logo, [tex]C = 120[/tex] e [tex]D = 1[/tex].
b) Através do gráfico, a partir de duas horas da aplicação, a massa do medicamento será de [tex]40~mg[/tex]. Queremos saber depois de quantas horas da aplicação, a massa será [tex]60\%[/tex] da massa que foi medida depois de duas horas. Assim, queremos saber em qual instante a massa corresponde a [tex]60\%[/tex] de [tex]40 ~mg[/tex]. Veja que [tex]\dfrac{60}{100}\cdot 40 = 24[/tex].
Logo, observando o gráfico, essa massa é alcançada [tex]4[/tex] horas depois da aplicação do medicamento.

Sendo [tex]f(t)=\sqrt{t-2}[/tex], temos [tex]f(g(t))=\sqrt{g(t)-2}[/tex]. Mas, por outro lado, [tex]f(g(t))=\sqrt{2t+1}[/tex], então
[tex]\qquad \begin{align}
\sqrt{g(t)-2} &= \sqrt{2t+1}\\
g(t)-2 &= 2t+1\\
g(t) &= 2t+3.
\end{align}[/tex]

As função [tex]f_n[/tex] foram definidas recursivamente como [tex]f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))[/tex]. Então,
● [tex]f_0(x) = \dfrac{1}{1-x}[/tex];
● [tex]f_1(x) = f_0(f_0(x)) = f_0\left(\frac{1}{1-x}\right) = \dfrac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \dfrac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \dfrac{1-x}{-x} = \dfrac{x-1}{x}[/tex];
● [tex]f_2(x) = f_0(f_1(x)) = f_0(\frac{x-1}{x}) = \dfrac{1}{1-\frac{x-1}{x}} = \dfrac{1}{\frac{x-x+1}{x}} = x[/tex];
● [tex]f_3(x) = f_0(f_2(x)) = f_0(x) = \dfrac{1}{1-x}[/tex].
Observe que [tex]f_3(x) = f_0(x)[/tex], então teremos [tex]f_4(x) = f_1(x), f_5(x) = f_2(x)[/tex] e, depois, novamente, [tex]f_6(x) = f_3(x) = f_0(x)[/tex].
Como podemos observar, sendo [tex]n[/tex] múltiplo de [tex]3[/tex], [tex]f_n(x) = f_0(x)[/tex]. Portanto, [tex]f_{2022}(x) = f_0(x)[/tex] e então [tex]f_{2023}(x) = f_1(x) = \dfrac{x-1}{x}[/tex]. Logo, [tex]f_{2023}(2023) = \dfrac{2023-1}{2023} = \dfrac{2022}{2023}[/tex].

Observando o gráfico, temos
[tex]\qquad\begin{align}f(h(3))+f(f(4)) &= f(f(3-2))+f(1)\\
&= f(f(1))+4\\
&= f(4)+4\\
&= 1+4\\
&= 5.
\end{align}[/tex]