Nesta Sala vamos justificar as fórmulas para se calcular as áreas de cinco tipos de figuras planas apresentados na Sala anterior.
Para algumas fórmulas, vamos utilizar quadrados unitários e recobrimentos; para outras, vamos utilizar equivalências de superfícies planas.
Nas nossas discussões, não utilizaremos unidades de medidas padronizadas; vamos convencionar que, se necessário, utilizaremos como unidade de área um quadrado unitário, conforme já definimos anteriormente.
Um quadrado unitário é qualquer quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento e, consequentemente, tem 1 unidade de área (1 ua).
Entendendo algumas fórmulas
➤ Dentre as fórmulas para o cálculo de áreas das figuras planas que apresentamos no final da Sala anterior, vamos começar o nosso estudo com aquela que nos fornece a medida da área da superfície definida por um quadrado ou, de maneira mais simples, aquela que nos fornece a área de um quadrado.
O quadrado é uma forma geométrica bem conhecida, pois é encontrada com frequência quando observamos os formatos de objetos do nosso dia a dia.
Matematicamente falando,
quadrados são polígonos de quatro lados e possuem duas características:
– os comprimentos dos seus quatro lados têm a mesma medida;
– os seus quatro ângulos internos têm a mesma medida (90°).
Atividade 11: Como justificar a fórmula que fornece a área da superfície definida por um quadrado Q cujos lados medem [tex]l[/tex] unidades de comprimento?
Vamos fazer aqui o procedimento que fizemos para calcular a área do campo de futebol, na Sala anterior, e recobrir superfícies convenientes com quadradinhos.
Inicialmente, suponhamos que [tex]l[/tex] seja um número inteiro (positivo).
Assim, traçando paralelas aos lados, podemos recobrir o quadrado Q repetindo [tex]l[/tex] vezes uma fileira com [tex]l[/tex] quadrados unitários, cada um com [tex]1\,ua[/tex].
Segue, então que o quadrado Q tem área [tex]l\times l[/tex].
Simbolicamente, se [tex]A_Q[/tex] é a área do quadrado Q, então [tex]A_Q=l^2\, ua[/tex], ou simplesmente [tex]\boxed{A_Q=l^2}\,.[/tex]
Suponhamos, agora, que [tex]l=\dfrac{1}{q}[/tex], para algum inteiro positivo [tex]q[/tex].
Neste caso, vamos recobrir um quadrado unitário com quadradinhos de lados com comprimentos [tex]\dfrac{1}{q}[/tex], conforme ilustra, de forma ampliada, a imagem a seguir
Temos, então, [tex]q^2[/tex] quadradinhos justapostos, todos com área igual à área de Q e definindo um quadrado unitário, que sabemos ter área igual a [tex]1[/tex].
Dessa forma, se [tex]A_Q[/tex] é a área do quadrado Q, então:
[tex]\qquad q^2 \times A_Q=1[/tex],
donde concluímos que
[tex]\qquad A_Q=\dfrac{1}{q^2}\,ua=\left(\dfrac{1}{q}\right)^2\,ua[/tex],
ou seja, [tex]\boxed{A_Q=l^2}\,.[/tex]
De modo geral, suponha que [tex]l[/tex] seja um número racional (positivo). Assim, existem inteiros positivos [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] tais que [tex]l=\dfrac{p}{q}.[/tex]
Decompondo os lados de Q em [tex]p[/tex] segmentos, cada um com comprimento dos lados igual a [tex]\dfrac{1}{q}[/tex] e traçando paralelas aos lados de Q definidas por tais segmentos, conseguimos recobri-lo repetindo [tex]p[/tex] vezes uma fileira com [tex]p[/tex] quadradinhos que sabemos, pelo item anterior, terem todos áreas medindo [tex]\dfrac{1}{q^2}\,ua[/tex].
Dessa forma, como Q foi recoberto por [tex]p^2[/tex] quadradinhos, segue que a medida da área de Q é [tex]p^2 \times \dfrac{1}{q^2}[/tex] unidades de área. Simbolicamente:
[tex]\qquad A_Q=\dfrac{p^2}{q^2}=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2=l^2\,ua[/tex].
Assim, mais uma vez, [tex]\boxed{A_Q=l^2}\,.[/tex]
Para completar a justificativa seria necessário supor que [tex]l[/tex] é um número irracional.
Mas para justificar que neste caso também temos [tex]A_Q=l^2[/tex], precisaríamos fazer um raciocínio por absurdo, procedimento que foge do objetivo desta atividade, que é utilizar recobrimentos de uma superfície por quadradinhos.
Assim, omitiremos essa discussão; mas se vocês conhecem a técnica de demonstração indireta, tentem fazer a justificativa omitida.
➤ Vamos trabalhar, agora, com a fórmula que nos fornece a medida da área da superfície definida por um retângulo (ou simplesmente, a área de um retângulo).
O retângulo é outra forma geométrica bastante encontrada nos objetos que encontramos no nosso cotidiano.
Retângulos são definidos como polígonos de quatro lados tais que todos os seus ângulos internos são retos, ou seja, medem 90°.
Um retângulo possui uma propriedade importante (decorrente do fato de seus quatro ângulos internos terem a mesma medida), que ajuda na visualização da figura que ele define: os seus lados opostos são paralelos e têm a mesma medida.
Como um quadrado tem a caraterística de possuir todos os seus ângulos internos medindo 90°, então todo quadrado é um retângulo.
Mas cuidado, nem todo retângulo é um quadrado, pois não condicionamos que as medidas dos comprimentos dos quatro lados de um retângulo sejam iguais!
Atividade 12: Como justificar a fórmula que fornece a área da superfície definida por um retângulo R cuja base e a altura medem, respectivamente, [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] unidades de comprimento?
Mais uma vez, vamos utilizar o procedimento de recobrir superfícies convenientes com quadradinhos.
Suponhamos, inicialmente, que [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] sejam números inteiros (positivos).
Assim, traçando paralelas aos lados, podemos recobrir o retângulo R repetindo [tex]h[/tex] vezes uma fileira com [tex]b[/tex] quadrados unitários, cada um com [tex]1\,ua[/tex].
Segue, então que o retângulo R tem área b ∙ h.
Simbolicamente, se [tex]A_R[/tex] é a área do retângulo R, então [tex]A_R=b \times h\,ua[/tex] ou, simplesmente, [tex]\boxed{A_R=b \times h}\,.[/tex]
Se [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] forem números racionais (positivos), eles podem ser escritos na forma de fração, com o mesmo denominador, não é?
Logo, existem inteiros positivos [tex]p[/tex], [tex]r[/tex] e [tex]q[/tex] tais que [tex]b=\dfrac{p}{q}[/tex] e [tex]h=\dfrac{r}{q}[/tex].
➤ Definam paralelas convenientes aos lados do retângulo, tentem justificar que:
[tex]\qquad A_R=\dfrac{p\times r }{q^2}\,ua[/tex]
para concluir que [tex]\boxed{A_R=b \times h}\,.[/tex]
Novamente, a justificativa da fórmula envolvendo medidas de comprimentos dos lados expressas por números irracionais positivos deve ficar fora da discussão, por não envolver recobrimentos via quadradinhos!
➤ Agora, vamos justificar a fórmula da área de um paralelogramo, isto é, a fórmula que fornece a medida da área da superfície definida por um paralelogramo.
Paralelogramos são polígonos de quatro lados cujos lados opostos são paralelos.
Por consequência, um paralelogramo tem ângulos opostos congruentes (com a mesma medida) e lados opostos congruentes (com a mesma medida).
Observem que, em particular, quadrados e retângulos são paralelogramos!
Atividade 13: Como justificar a fórmula que fornece a área da superfície definida por um paralelogramo P cuja base e a altura (relativa a essa base) medem, respectivamente, [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] unidades de comprimento?
Para justificar a fórmula que fornece a medida da área da superfície definida por um paralelogramo, não vamos utilizar recobrimentos da figura como fizemos nas duas atividades iniciais, uma vez que teríamos alguns probleminhas extras, já que não temos ângulos internos necessariamente retos em um paralelogramo.
Vamos utilizar outro processo: o de igualdade de medidas de áreas de superfícies equivalentes (superfícies com formas não necessariamente iguais, mas com a mesma medida de área).
Vamos traçar a partir do vértice [tex]D[/tex] do paralelogramo [tex]BDEF[/tex] o segmento [tex]\overline{DJ}[/tex], paralelo a [tex]\overline{BH}[/tex], conforme indicado na figura a seguir.
Dessa forma, ficamos com duas superfícies equivalentes e portanto suas respectivas medidas de área são iguais: os quadriláteros [tex]BDEF[/tex] e [tex]BDJH[/tex]
Mas os quadriláteros [tex]BDEF[/tex] e [tex]BDJH[/tex] são, respectivamente, o nosso paralelogramo inicial e um retângulo de base [tex]b[/tex] e altura [tex]h[/tex].
Com isso, se [tex]A_P[/tex] e [tex]A_R[/tex] são as áreas das superfícies definidas pelo paralelogramo e pelo retângulo, respectivamente, segue que:
[tex]\qquad A_P=A_R=b\times h[/tex].
Portanto, [tex]\boxed{A_P=b\times h}\,[/tex].
Para entender melhor o processo que fizemos, vocês podem utilizar o applet abaixo
Um applet para ajudar na atividade
Você pode utilizar este applet para movimentar as duas peças azuis que aparecem na janela do applet e verificar as equivalências das superfícies definidas pelas figuras que utilizamos nas justificativas da fórmula. Instruções: (1) Esperem o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.) (2) Para transladar uma das figuras azuis, cliquem sobre ela com qualquer botão do mouse, mantenham o mouse pressionado e façam o movimento. (Se vocês estiverem utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no triângulo e fazer o movimento.) (3) Se vocês estiverem usando um computador, vocês também poderão fazer as translações das peças utilizando os seus teclados. Para isso, cliquem na peça com o botão esquerdo do mouse. Em seguida, façam os movimentos utilizando as teclas “mover para cima”, “mover para baixo”, “mover para a direita” ou “mover para a esquerda”. (Para translações “mais finas”, mantenham a tecla Shift do teclado apertada enquanto vocês fazem um movimento.) (4) Se quiserem voltar para a visualização inicial, cliquem nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito da janela.
➤Chegou a hora de uma das figuras mais presentes nos ambientes que frequentamos, mas nem sempre visíveis: os triângulos.
Um triângulo é um polígono de três lados e, consequentemente, três ângulos internos.
Mas, qual a importância desse polígono de apenas três lados?
O triângulo é o único polígono que apresenta a chamada “rigidez geométrica”, ou seja, uma vez construído, é impossível modificar a abertura de seus ângulos e construir outro triângulo.
Essa característica do triângulo é bastante utilizada na engenharia, na arquitetura e na carpintaria, entre outras áreas. Em telhados, armários, portões, andaimes e prateleiras, por exemplo, a rigidez dos triângulos que aparecem nas suas estruturas evitam suas deformações.
Bem legal esse assunto sobre rigidez; mas, aqui, estamos interessados na fórmula que fornece a medida da área da superfície definida por um triângulo, ou seja, a área desse triângulo.
Atividade 14: Como justificar a fórmula que fornece a área da superfície definida por um triângulo T cuja base e a altura relativa a essa base medem, respectivamente, [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] unidades de comprimento?
Utilizando a applet abaixo, executem o passo a passo que daremos a seguir para justificar que a medida da área de um triângulo T cuja base e a altura medem [tex]b[/tex] e [tex]h[/tex] unidades de comprimento, receptivamente, é [tex]A_T=\dfrac{b\times h}{2}\,ua[/tex] ou, simplesmente, [tex]\boxed{A_T=\dfrac{b\times h}{2}}\,.[/tex]
Passo a passo Passo 1: Na janela inicial do aplicativo aparecem dois triângulos cujas superfícies internas estão coloridas de amarelo e de verde. Movimentem os triângulos e observem que eles definem superfícies equivalentes, isto é, as medidas das áreas de suas superfícies internas são iguais. Passo 2: Voltem os triângulos às suas posições iniciais. Passo 3: Façam uma rotação no triângulo cujo interior está colorido de amarelo e coloquem os pontos [tex]B'[/tex] e [tex]C'[/tex] sobre os pontos [tex]C[/tex] e [tex]B[/tex], respectivamente, do triângulo com o interior verde. (Esse movimento corresponde a uma rotação de [tex]180^\circ\,.[/tex]) Passo 4: Observem que vocês obtiveram um paralelogramo cuja a base mede [tex]b[/tex] unidades de comprimento e a altura mede [tex]h[/tex] unidades de comprimento. Qual a medida da área da superfície interna do paralelogramo obtido? Passo 5: Observem que a superfície do paralelogramo obtido é a metade da superfície definida por cada triângulo. Então, qual é a medida da área de cada triângulo? Passo 6: O que vocês podem concluir?
Instruções para a utilização do applet: (1) Esperem o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.) (2) Para transladar um dos triângulos, cliquem sobre ele com qualquer botão do mouse, mantenham o mouse pressionado e façam o movimento. (Se vocês estiverem utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no triângulo e fazer o movimento.) (3) Se vocês estiverem usando um computador, vocês também poderão fazer as translações dos triângulos utilizando os seus teclados. Para isso, cliquem em um triângulo com o botão esquerdo do mouse. Em seguida, façam os movimentos utilizando as teclas “mover para cima”, “mover para baixo”, “mover para a direita” ou “mover para a esquerda”. (Para translações “mais finas”, mantenham a tecla Shift do teclado apertada enquanto vocês fazem um movimento.) (4) Para rodar o triângulo amarelo, cliquem com qualquer botão do mouse sobre o vértice [tex]C'[/tex] (colorido de vermelho), mantenham o mouse pressionado e rodem-no. (Se vocês estiverem utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto e fazer o movimento.) (5) Se vocês estiverem usando um computador, vocês também poderão fazer as rotações do triângulo amarelo utilizando os seus teclados. Para isso, com o botão esquerdo do mouse, cliquem sobre o vértice destacado com o círculo vermelho. Em seguida, façam os movimentos utilizando as teclas “mover para cima” ou “mover para baixo”. (Para rotações “mais finas”, mantenham a tecla Shift do teclado apertada enquanto vocês fazem um movimento.) (6) Se quiserem voltar para a visualização inicial, cliquem nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito da janela. Observação: Vocês podem modificar o tamanho e a forma dos triângulos. Para isso, cliquem em qualquer vértice do triângulo verde, mantenham o mouse pressionado e movimentem o mouse.
➤ A última fórmula que justificaremos é a fórmula da área para trapézios.
Um trapézio é um quadrilátero que tem dois lados paralelos.
Notem que essa caracterização permite que um trapézio possa ter dois pares de lados paralelos (se ele tem dois pares de lados paralelos, ele tem um par, particularmente). Com isso, um paralelogramo é um tipo especial de trapézio e, portanto, quadrados e retângulos são trapézios. Alguns livros e alguns estudiosos adotam a seguinte caracterização dos trapézios:
Um trapézio é um quadrilátero que tem APENAS dois lados paralelos.
Neste caso, paralelogramos, quadrados e retângulos não são trapézios, não é?
A nossa Atividade 15, abaixo, independe da caracterização de trapézio que se utilize.
Atividade 15: Como justificar a fórmula que fornece a área da superfície definida por um trapézio T cuja base menor, a base maior e a altura medem, respectivamente, [tex]b[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]h[/tex] unidades de comprimento?
A partir da sequência de figuras abaixo, tentem mostrar que se [tex]A_T[/tex] é a área do trapézio T, então [tex]\boxed{A_T=\dfrac{\left(b+B \right)\times h}{2}}\,.[/tex]
Antes de vocês saírem desta página, observem que a figura abaixo mostra que podemos construir um trapézio usando o Tangram.
Será que vocês conseguem construir as outras figuras que trabalhamos nesta Sala, quadrado, retângulo, paralelogramo e triângulo, com as sete peças do Tangram?
➤ Dentre as fórmulas para o cálculo de áreas das figuras planas que apresentamos no final da Sala anterior, vamos começar o nosso estudo com aquela que nos fornece a medida da área da superfície definida por um quadrado ou, de maneira mais simples, aquela que nos fornece a área de um quadrado.
Mas, qual a importância desse polígono de apenas três lados?
Alguns livros e alguns estudiosos adotam a seguinte caracterização dos trapézios:
