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Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Difícil)
(a) Encontrar dois números reais tais que a sua soma, o seu produto e a diferença entre seus quadrados são iguais entre si.
(b) Quantos pares de números reais obedecem à propriedade do item (a) ?
Solução
Sejam [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] dois números reais que satisfazem a propriedade descrita no enunciado do problema: a sua soma, o seu produto e a diferença entre seus quadrados são iguais entre si.
Assim:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a+b=a\cdot b=a^2-b^2}[/tex].[tex]\qquad \color{#800000}(i)[/tex]
(a) Como o enunciado do problema não coloca restrições aos números [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] que devem satisfazer as igualdades [tex]\color{#800000}(i)[/tex], podemos fazer [tex]a=0 \, [/tex] e [tex] \, b=0[/tex], já que:
[tex]\qquad \qquad \boxed{0+0=0\cdot 0=0^2-0^2}[/tex].
(b) Sejam [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] números reais quaisquer que satisfaçam as igualdades [tex]\color{#800000}(i)[/tex].
Assim, particularmente, [tex] a+b=a^2-b^2[/tex].
Mas, sabemos que [tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex], logo:
[tex]\qquad a+b=(a+b)(a-b)[/tex]. [tex]\qquad \color{#800000}(ii)[/tex]
Observe que, se [tex] a+b\ne 0[/tex], podemos dividir os dois lados da igualdade [tex]\color{#800000}(ii)[/tex] por [tex] a+b[/tex]. Dessa forma, na nossa discussão, vamos considerar dois casos: [tex] a+b\ne 0[/tex] e [tex] a+b= 0[/tex].
-
Caso 1: [tex] a+b\ne 0[/tex]
Se [tex] a+b\ne 0[/tex], segue de [tex]\color{#800000}(ii)[/tex] que [tex] a-b=1[/tex], ou seja, que [tex] \color{red}a=b+1[/tex]. - [tex]a_1=b_1+1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]
- [tex]a_2=b_2+1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex]
- Caso 2: [tex] a+b=0[/tex]
Assim, de [tex]\color{#800000}(i)[/tex], segue que:
[tex]\qquad {\color{red}a}+b={\color{red}a}\cdot b[/tex]
[tex]\qquad {\color{red}(b+1)}+b=({\color{red}b+1}) b[/tex]
[tex]\qquad 2b+1=b^2+b[/tex]
[tex]\qquad b^2-b-1=0[/tex].[tex]\qquad \color{#800000}(iii)[/tex]
Resolvendo a equação do segundo grau [tex]\color{#800000}(iii)[/tex], temos que
[tex]\qquad b=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}[/tex],
ou seja, temos dois valores possíveis para [tex]b[/tex]:
[tex]\qquad b_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \, \, [/tex] e [tex] \, \, b_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex].
Como [tex]a=b+1[/tex], obtemos, respectivamente, dois valores para [tex]a[/tex]:
Neste primeiro caso, temos dois pares de números reais que satisfazem as equações [tex]\color{#800000}(i)[/tex]:
[tex]\qquad a_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \, \, \text{e} \, b_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \, \, [/tex] ; [tex] \, a_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \, \, \text{e} \, \, b_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \, \, [/tex].
Se [tex] a+b= 0[/tex], então [tex] a=-b \, [/tex] e segue de [tex]\color{#800000}(i)[/tex] que [tex] a\cdot b=0[/tex].
Mas se [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números reais tais que [tex] a\cdot b=0[/tex], então [tex]a=0 \, [/tex] ou [tex] \, b=0[/tex]; no entanto, como [tex] a=-b \, [/tex], necessariamente teremos [tex]a=b=0[/tex], que foi a solução que apresentamos no item (a).
Finalmente, pela análise feita nos dois casos apresentados, temos que existem apenas três pares de números reais tais que [tex]a+b=a\cdot b=a^2-b^2[/tex].
São eles:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#FFEFD5}{$a_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\quad \text{e}\quad b_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$}[/tex] ; [tex]\quad \fcolorbox{black}{#E6E6FA} {$a_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\quad \text{e} \quad b_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$}\quad[/tex] e [tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFE1FF} {$a_3=0\quad\text{e} \quad b_3=0$}[/tex]
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