[tex]\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\cm}{ cm}
\DeclareMathOperator{\m}{ m}
[/tex]
Problema
(A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Difícil)
Seja [tex]\theta[/tex] um ângulo agudo tal que
[tex]\qquad A=\dfrac{2\sen^3\theta\cdot \cos\,\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta-1}+\dfrac{2\cos^3\theta\cdot \sen\,\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta+1}[/tex]
e
[tex]\qquad B=\cos\,\theta\left(1+\cos\,\theta\right)+\sen\,\theta\left(1+\sen\,\theta\right)-1\,.[/tex]
Verifique que [tex]\boxed{\dfrac{A}{B}=1+\sen~\theta-\cos~\theta}\,.[/tex]
Adaptado da V ONEM, 2008.
Lembretes
✐ Relação fundamental da trigonometria:
[tex]\qquad \sen^2\, \alpha+\cos^2\,\alpha=1[/tex], para qualquer medida angular [tex]\alpha[/tex].
✐ Fatoração da diferença de dois quadrados/ Produto da soma pela diferença:
[tex]\qquad \boxed{m^2-n^2=(m+n) \cdot (m-n)}[/tex], para quaisquer [tex]m,n\in\mathbb{R}\,.[/tex]
Solução
Antes de mais nada, observe que [tex]\theta[/tex] é um ângulo agudo, ou seja, [tex]0 \lt \theta \lt 90^\circ \,.[/tex] Assim, [tex]\sen\,\theta\ne 0[/tex]; [tex]\,\cos\,\theta\ne 0[/tex]; [tex]\sen\,\theta\ne \pm 1\,[/tex] e [tex]\,\cos\,\theta\ne \pm 1\,.[/tex]
Para simplificar as contas, vamos trabalhar separadamente com o numerador e o denominador da razão [tex]\dfrac{A}{B}\,.[/tex]
► Numerador:
[tex]A=\dfrac{2\sen^3\theta\cdot \cos\,\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta-1}+\dfrac{2\cos^3\theta\cdot \sen\,\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta+1}\\
A=2\sen\theta\cdot \cos\,\theta\left(\dfrac{\sen^2\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta-1}+\dfrac{\cos^2\theta}{\sen\,\theta+\cos\,\theta+1}\right)\\
A=2\sen\theta \cdot \cos\,\theta\left(\dfrac{\sen^2\theta\cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)+\cos^2\theta \cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)}{(\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)\cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)}\right)\,.\;\textcolor{red}{(i)}\\
[/tex]
Antes de prosseguir, observe que:
[tex]\;\begin{align*}\boxed{(\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)(\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)}&=((\sen\,\theta+\cos\,\theta)-1)((\sen\,\theta+\cos\,\theta)+1)\\
&=(\sen\,\theta+\cos\,\theta)^2-1^2\\
&=\sin^2\,\theta+2(\sin\,\theta)(\cos\,\theta)+\cos^2\,\theta-1\\
&=(\sen^2\,\theta+\cos^2\,\theta)+2\sen\,\theta \cdot \cos\,\theta-1\\
&=1+2\sen\,\theta \cdot \cos\,\theta-1 \\
&=\boxed{2\sen\,\theta \cdot \cos\,\theta}\,.\;\;\textcolor{red}{(ii)}
\end{align*}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{red}{(ii)}\,[/tex] em [tex]\,\textcolor{red}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]A=2\sen\theta \cdot \cos\,\theta\left(\dfrac{\sen^2\theta\cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)+\cos^2\theta \cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)}{2\sen\,\theta \cdot \cos\,\theta}\right)\\
A=\cancel{2\sen\theta \cdot \cos\,\theta}\left(\dfrac{\sen^2\theta\cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)+\cos^2\theta \cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)}{\cancel{2\sen\,\theta \cdot \cos\,\theta}}\right)\\
A=\sen^2\theta\cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta+1)+\cos^2\theta \cdot (\sen\,\theta+\cos\,\theta-1)\\
A=\sen^2\theta\cdot(\sen\,\theta+\cos\,\theta)+\sen^2\theta+\cos^2\theta(\sen\,\theta+\cos\,\theta)-\cos^2\theta\\
A=(\sen\,\theta+\cos\,\theta)\cdot\left(\sen^2\theta+\cos^2\theta\right)+\sen^2\theta-\cos^2\theta\\
A=(\sen\,\theta+\cos\,\theta)\cdot 1+\sen^2\theta-\cos^2\theta\\
A=\sen\,\theta+\cos\,\theta+\left(\sen^2\theta-\cos^2\theta\right)\\
A=(\sen\,\theta+\cos\,\theta)+\left(\sen\theta+\cos\theta\right)\cdot \left(\sen\theta-\cos\theta\right)\\
\qquad \fcolorbox{black}{#ccdbff}{$A=(\sen\,\theta+\cos\,\theta) \cdot \left(1+\sen\theta-\cos\theta\right)$}\,. \;\;\textcolor{blue}{(iii)}
[/tex]
► Denominador:
[tex]B=\cos\,\theta\left(1+\cos\,\theta\right)+\sen\,\theta\left(1+\sen\,\theta\right)-1\\
B=\cos\,\theta+\cos^2\,\theta+\sen\,\theta+\sen^2\,\theta-1\\
B=\cos\,\theta+\sen\,\theta+\left(\cos^2\,\theta+\sen^2\,\theta\right)-1\\
B=\cos\,\theta+\sen\,\theta+1-1\\
\qquad \fcolorbox{black}{#e6fbdb}{$B=\cos\,\theta+\sen\,\theta$}\,. \;\;\textcolor{#4bb512}{(iv)}\
[/tex]
Finalmente, por [tex]\textcolor{blue}{(iii)}\,[/tex] e por [tex]\,\textcolor{#4bb512}{(iv)}[/tex] concluímos que,
[tex]\qquad \qquad \dfrac{A}{B}=\dfrac{\textcolor{blue}{(\sen\,\theta+\cos\,\theta) \cdot \left(1+\sen\theta-\cos\theta\right)}}{\textcolor{#4bb512}{\cos\,\theta+\sen\,\theta}}\\
\qquad \qquad \dfrac{A}{B}=\dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{(\sen\,\theta+\cos\,\theta)} \cdot \left(1+\sen\theta-\cos\theta\right)}}{\cancel{\textcolor{#4bb512}{\cos\,\theta+\sen\,\theta}}}\\
\qquad \qquad \dfrac{A}{B}=1+\sen\theta-\cos\theta\,.[/tex]
Assim, de fato, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{A}{B}=1+\sen\theta-\cos\theta$}\,.[/tex]
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