Problema
(A partir da 2ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Existem dois números reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si?
Solução 1
Sejam [tex]x\,[/tex] e [tex]\, y[/tex] números reais, com [tex]y\ne 0 [/tex], tais que [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.[/tex]
Assim, particularmente, temos o seguinte sistema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
x+y=x\cdot y\\
x+y=\frac{x}{y}
\end{cases}\,.[/tex]
De [tex]x+y=\frac{x}{y}[/tex] segue que:
[tex]\quad xy+y^2=x\\
\quad x-xy=y^2\\
\quad x(1-y)=y^2\\
\quad x=\dfrac{y^2}{1-y} \text{, para }y\ne 1.[/tex]
Antes de prosseguir, perceba que [tex]y=1[/tex] não satisfaz as condições do problema. De fato, se [tex]y=1[/tex], das equações do sistema obteríamos [tex]x+1=x[/tex]; mas sabemos que [tex]x+1\ne x[/tex] para qualquer [tex]x[/tex] real (caso contrário, concluiríamos que [tex]1=0[/tex], não é?).
Substituindo [tex] x=\dfrac{y^2}{1-y}[/tex] em [tex]x+y=x\cdot y[/tex], segue que
[tex]\quad \dfrac{y^2}{1-y}+y=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot y\\
\quad \cancel{y}\cdot\left( \dfrac{y}{1-y}+1\right)=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot \cancel{y}\text{, observe que } y \ne 0\\
\quad \dfrac{y}{1-y}+1=\dfrac{y^2}{1-y}\\
\quad y+\left(1-y\right)=y^2\\
\quad y^2=1\\
\quad y=1 \text{ ou } y=-1.
[/tex]
Já sabemos que [tex]y=1[/tex] não satisfaz as condições do problema; assim, [tex]y=-1[/tex] e de [tex]x+y=x\cdot y[/tex] segue que:
[tex]\quad x-1=x\cdot -1\\
\quad x-1=-x\\
\quad 2x=1\\
\quad x=\dfrac{1}{2}.[/tex]
Observe que os valores [tex]x=\frac{1}{2}\,[/tex] e [tex]\,y=-1[/tex] satisfazem, de fato, [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}[/tex];
portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,[/tex] são os únicos números reais cuja soma, o produto e o quociente são iguais entre si.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sejam [tex]x\,[/tex] e [tex]\, y[/tex] números reais, com [tex]y\ne 0 [/tex], tais que [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.[/tex]
A igualdade [tex]x\cdot y=\frac{x}{y}[/tex] nos permite concluir que, para [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y^2=1[/tex], donde obtemos dois possíveis valores para [tex]y[/tex]: [tex]y=1[/tex] e [tex]y=-1\,.[/tex]
Antes de prosseguirmos na análise desse valores obtidos, observe que substituindo [tex]x= 0[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex] obtemos que [tex]y=0[/tex], o que não é possível devido à restrição do problema de que [tex]y\ne 0 [/tex].
- Note que, substituindo [tex]y=1[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex], obtemos que [tex]x+1=x[/tex], o que também não é possível, pois [tex]x+1\ne x[/tex] para todo [tex]x[/tex] real (caso contrário teríamos [tex]1=0[/tex]).
- Agora, substituindo [tex]y=-1[/tex] na igualdade [tex]x+y=x\cdot y[/tex], obtemos a igualdade [tex]x-1=-x[/tex], donde concluímos que [tex]x=\frac{1}{2}\,.[/tex]
Observe que os valores [tex]x=\frac{1}{2}\,[/tex] e [tex]\,y=-1[/tex] satisfazem, de fato, [tex]\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}[/tex]:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}[/tex],
Logo, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,[/tex] são os únicos números reais que satisfazem as condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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