Algumas propriedades dos quadrados perfeitos
Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vamos conhecê-los um pouco mais.
(1) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é o n-ésimo quadrado perfeito.
Em um primeiro momento, tente apenas entender a propriedade, analisando a seguinte sequência:
[tex]1+3=4=2^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 2 primeiros números ímpares é o segundo quadrado perfeito);
[tex]1+3+5=9=3^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 3 primeiros números ímpares é o terceiro quadrado perfeito);
[tex] 1+3+5+7=16=4^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 4 primeiros números ímpares é o quarto quadrado perfeito);
[tex] 1+3+5+7+9=25=5^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 5 primeiros números ímpares é o quinto quadrado perfeito);
[tex] 1+3+5+7+9+11=36=6^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 6 primeiros números ímpares é o sexto quadrado perfeito);
[tex] 1+3+5+7+9+11+13=49=7^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 7 primeiros números ímpares é o sétimo quadrado perfeito);
[tex] 1+3+5+7+9+11+13+15=64=8^2\, \, \, [/tex] (a soma dos 8 primeiros números ímpares é o oitavo quadrado perfeito).
Usando esta propriedade podemos concluir, por exemplo, que:
[tex]\qquad \underbrace{1+3+5+ \cdots +999}=250\,000\qquad [/tex] e [tex]\qquad \underbrace{1+3+5+ \cdots +9999}=25\,000\,000[/tex].
a soma dos 500 primeiros números ímpares [tex]\qquad [/tex] a soma dos 5000 primeiros números ímpares
Tente fazer essas somas na sua calculadora e observe como é forte essa propriedade!
(2) Um quadrado perfeito não termina em 2, 3, 7 e 8.
Neste primeiro estudo tente apenas observar uma boa aplicação desta propriedade. Por exemplo:
● [tex]\sqrt{5787}[/tex] é um número natural?
● [tex]\sqrt{14722}[/tex] é um número natural?
● [tex]\sqrt{8786923}[/tex] é um número natural?
(3) Um quadrado perfeito par é sempre divisível por 4.
Neste momento observe apenas que, com essa propriedade, garantimos, por exemplo, que:
● [tex](273904736)^2[/tex] é divisível por 4.
● [tex](18700394875098756283764878)^2[/tex] é divisível por 4.
Mais uma vez, use sua calculadora para obter os quadrados e depois tente fazer a divisão por quatro…
Trabalhoso, não é? Mais um exemplo legal de uma propriedade dos quadrados perfeitos!
(4) Um quadrado perfeito ímpar quando dividido por 8 deixa resto 1.
Pegue uma calculadora e teste alguns exemplos.
Os exemplos que você conseguiu não garantem que qualquer quadrado perfeito seja um “múltiplo de 8 mais 1”, mas ajudam você entender a propriedade.
Uma bela aplicação dessa propriedade é garantirmos que em uma sequência de números naturais que tenham apenas o algarismo 1
[tex] \qquad 11 \quad 111\quad 1111\quad 11111\quad 111111\quad 1111111\quad \cdots\quad \underbrace{ 1111\cdots1111}_{apenas\ algarismos\ 1}\quad \cdots [/tex]
não aparecem quadrados perfeitos.
A justificativa dessa afirmação não é trivial, por isso para você se convencer que essa propriedade é verdadeira, terá que pensar um pouquinho mais.
Equipe COM – OBMEP
● Quadrados perfeitos – um segundo estudo