Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)
Existem algumas técnicas de se fazer multiplicações bem rapidinho…
Uma delas pode ser utilizada quando vamos multiplicar dois números com dois algarismos cada tais que:
- os algarismos das dezenas são iguais;
- a soma dos algarismos das unidades é [tex]10[/tex].
Veja o Método, exemplificado para a multiplicação [tex]42 \times 48[/tex].
Método
[tex]\textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{2} \times \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{8}=???[/tex]
Passo 0 – Verificar as condições de aplicabilidade do Método.
[tex]\qquad \qquad\textcolor{red}{4=4\;}[/tex] e [tex]\;\textcolor{blue}{8+2=10}[/tex]
Passo 1 – O resultado é um número de três ou quatro algarismos, então já deixe quatro tracinhos em branco, preparados para receber os dígitos do produto final.
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{2} \times \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{8}=\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}[/tex]
Passo 2 – Nos dois últimos tracinhos, escreva o produto dos últimos algarismos dos dois números (dígitos azuis). Se os algarismos forem [tex]1[/tex] e [tex]9[/tex], os tracinhos devem ser completados com [tex]09\,.[/tex]
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{2} \times \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{8}=\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underbrace{\underline{1}\;\underline{6}}_{2\times 8}[/tex]
Passo 3 – Nos dois primeiros tracinhos, escreva o produto entre o algarismo comum aos dois números (dígito vermelho) e o seu sucessor.
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{2} \times \textcolor{red}{4}\textcolor{blue}{8}=\underbrace{\underline{2}\;\underline{0}}_{4\times 5}\;\underline{1}\;\underline{6}[/tex]
Resultado: [tex]\boxed{42 \times 48=2016}[/tex].
Tente explicar porque o resultado deste método coincide com o resultado final do método que você está habituado a utilizar.
Solução
Vamos supor que os números [tex]x\,[/tex] e [tex]\, y[/tex] a serem multiplicados sejam escritos na forma decimal como [tex]x=ab\,[/tex] e [tex]\,y=ac[/tex]; assim, como a soma dos algarismos das unidades é [tex]10[/tex], temos [tex]\boxed{b+c=10}\,.[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c }
&a&b&\\
\times&a&c\\
\hline
&?&\\
\end{array}[/tex]
Observe que [tex]\boxed{x=a\cdot 10+b}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{y=a\cdot 10+c}[/tex]; portanto, fazendo o produto de [tex]x\,[/tex] por [tex]\, y[/tex] temos que:
[tex]\begin{align*}
\qquad x\cdot y&=(a\cdot 10+b)\cdot (a\cdot 10+c)\\
&=a^2\cdot 100+a\cdot 10 \cdot c+b \cdot a \cdot 10+b\cdot c\\
&=a^2\cdot 100+(a\cdot 10 )\cdot c+ (a \cdot 10) \cdot b +b\cdot c\\
&=a^2\cdot 100+(a\cdot 10 )\cdot (c+ b) +b\cdot c\\
&=a^2\cdot 100+(a\cdot 10 )\cdot 10+b\cdot c\\
&=a^2\cdot 100+a\cdot 100+b\cdot c\\
&=a\cdot 100\cdot (a+1)+b\cdot c\\
&=a \cdot (a+1)\cdot 100+b\cdot c\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}
\end{align*}[/tex]
Agora, vamos também escrever os produtos [tex]a \cdot (a+1)\,[/tex] e [tex]\,b\cdot c[/tex] na forma decimal. Assim, se [tex]a \cdot (a+1)=mn\,[/tex] e [tex]\,b\cdot c=tz[/tex], segue que [tex]\boxed{a \cdot (a+1)=m\cdot 10+n}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{b\cdot c=t\cdot 10+z}[/tex], donde segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\begin{align*}
\qquad x\cdot y&=a \cdot (a+1)\cdot 100+b\cdot c\\
&=(m\cdot 10+n)\cdot 100+(t\cdot 10+z)\\
&=m\cdot 1000+n\cdot 100+t\cdot 10+z\\
\end{align*}[/tex]
e, com isso, temos a representação decimal do produto [tex]x\cdot y[/tex]:
[tex]\qquad x\cdot y= \underbrace{m\,\,\,n}_{a \cdot (a+1)}\,\underbrace{t\,\,\,z}_{b\cdot c}[/tex]
[tex]\qquad a\,b\cdot a\,c= \underbrace{m\,\,\,n}_{a \cdot (a+1)}\,\underbrace{t\,\,\,z}_{b\cdot c}\,.[/tex]
Portanto, de fato, os dois primeiros algarismos do produto [tex]ab\cdot ac[/tex] são os dois algarismos de [tex]\boxed{a \cdot (a+1)}[/tex] e os dois últimos são os algarismos de [tex]\boxed{b\cdot c}\,.[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c c }
&&a&b&\\
&\times&a&c\\
\hline
m&n&t&z\\
\end{array}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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