Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sendo [tex]a[/tex] um número real tal que [tex]a\ne 0[/tex] e [tex]a\ne 1[/tex], mostre que o produto
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex]
resulta em
[tex]\qquad \dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}\,[/tex].
Adaptado de The Art and Craft of Problem Solving– Paul Zeitz.
Lembretes
✐ Fatoração da diferença de dois quadrados/ Produto da soma pela diferença:
[tex]\qquad \qquad \boxed{m^2-n^2=(m+n) \cdot (m-n)}[/tex], para todos [tex]m,n\in\mathbb{R}\,.[/tex]
(Para aprender um pouco mais, clique AQUI.)
Solução
Seja [tex]P=\left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\,.\\
\,[/tex]
► Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por [tex]\left(1-\dfrac{1}{a}\right)[/tex], obtemos
[tex]\quad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P=\left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
► Aplicando a identidade do produto da soma pela diferença no produto dos dois primeiros termos da igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\quad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P=\left[\left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a}\right)\right] \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\\
\quad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P=\left(1-\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
► Aplicando novamente a identidade do produto da soma pela diferença agora no produto dos dois primeiros termos da igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\quad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P=\left[\left(1-\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)\right] \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\\
\quad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P=\left(1-\dfrac{1}{a^4}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)\,.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Observe que, a cada aplicação da identidade do produto da soma pela diferença, o número de fatores do produto que aparece à direita da igualdade inicial vai diminuindo.
► Assim, seguindo o mesmo raciocínio sucessivamente, podemos chegar a
[tex]\qquad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P= \left(1-\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex].
► Aplicando uma última vez a identidade do produto da soma pela diferença, obtemos:
[tex]\qquad \left(1-\dfrac{1}{a}\right) \cdot P= \left(1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}\right)\\
\,[/tex]
donde conclui-se que:
[tex]\qquad P= \dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}[/tex].
Portanto, [tex]\boxed{ \left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)= \dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.