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Problema
(A partir do 1º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Muito Difícil)
(XXIX OPM, 2010) A adição
- [tex]9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots [/tex]
foi efetuada até o aparecimento de exatamente [tex]9\,999[/tex] algarismos [tex]1[/tex] na soma resultante.
Quantas parcelas teve essa adição?
Solução
O que o problema nos pede é qual o menor número natural [tex]n[/tex] tal que a soma
[tex]\qquad S_n=9+99+999+\cdots+ \underbrace{99\cdots 99}_{n\text{ noves}}[/tex]
tenha exatamente [tex]9\,999[/tex] algarismos [tex]1[/tex].
Vamos reescrever a soma [tex]S_n[/tex] de modo que apareçam os algarismos [tex]1[/tex] para que possamos contá-los. Observe:
[tex]\qquad S_n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdots+ \big(1\underbrace{0000\cdots 00}_{n\text{ zeros}}-1\big)\\
\qquad S_n=(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots+ (10^n-1\big)\\
\qquad S_n=\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n\right)+(\underbrace{-1-1-1-\cdots-1}_{n\text{ parcelas}})\\
\qquad S_n=\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^{n-1}+10^n\right)-n\\
\qquad S_n=\underbrace{11\cdots 111}_{n\text{ uns}}0-n.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(Se você não entendeu a última passagem que fizemos, talvez a figura abaixo possa lhe ajudar!)
Observe a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e perceba que:
- a soma [tex]S_n[/tex] pode ser escrita como uma diferença entre "um número com [tex]n[/tex] algarismos iguais a um e o último algarismo igual a zero" e "[tex]n[/tex]".
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{1}}=9=10-{\textcolor{#FF00FF}{1}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{2}}=108=110-{\textcolor{#FF00FF}{2}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{3}}=1107=\underbrace{111}_{{\textcolor{#FF00FF}{3}}\text{ uns}}0-{\textcolor{#FF00FF}{3}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{4}}=11106=\underbrace{1111}_{{\textcolor{#FF00FF}{4}}\text{ uns}}0-{\textcolor{#FF00FF}{4}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{5}}=111105=\underbrace{11111}_{{\textcolor{#FF00FF}{5}}\text{ uns}}0-{\textcolor{#FF00FF}{5}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{6}}=1111104=\underbrace{111111}_{{\textcolor{#FF00FF}{6}}\text{ uns}}0-{\textcolor{#FF00FF}{6}}[/tex]
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{7}}=11111103=\underbrace{1111111}_{{\textcolor{#FF00FF}{7}}\text{ uns}}0-{\textcolor{#FF00FF}{7}}[/tex], etc. - para [tex]n \gt 1[/tex], a soma [tex]S_n[/tex] tem [tex]n+1[/tex] algarismos, já que a quantidade de dígitos do minuendo [tex]\boxed{11\cdots 1110}[/tex] é muito maior do que a do subtraendo [tex]\boxed{n}[/tex].
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{2}}=108[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{2}}+1=3[/tex] algarismos
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{3}}=1107[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{3}}+1=4[/tex] algarismos
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{4}}=11106[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{4}}+1=5[/tex] algarismos
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{5}}=111105[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{5}}+1=6[/tex] algarismos
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{6}}=1111104[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{6}}+1=7[/tex] algarismos
[tex]\qquad S_{\textcolor{#FF00FF}{7}}=11111103[/tex]; com [tex]{\textcolor{#FF00FF}{7}}+1=8[/tex] algarismos, etc.
Então, para termos uma soma com [tex]9\,999[/tex] algarismos, devemos ter [tex]n \geqslant 9998[/tex]. Mas observe também que, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]:
- [tex]S_{9998}=\underbrace{11\cdots 111}_{9998\text{ uns}}0-9998=\underbrace{11\cdots 11}_{9994\text{ uns}}01112\,\,[/tex] (Veja esqueminha abaixo.);
- [tex]S_{9999}=\underbrace{11\cdots 111}_{9999\text{ uns}}0-9999=\underbrace{11\cdots 11}_{9995\text{ uns}}01111\,\,[/tex] (Veja esqueminha abaixo.).
Portanto, para que a soma resultante da adição [tex]\,\boxed{9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots} [/tex] tenha exatamente [tex]9\,999[/tex] algarismos [tex]1[/tex], serão necessárias [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9\,999 \text{ parcelas}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.