Sentenças abertas e quantificadores
Já vimos como substituir algumas proposições por outras, sem prejuízo do ponto de vista da Lógica. Mas ainda temos uma pendência…
O que fazer com as frases genéricas da Matemática?
Por enquanto, nem mesmo a simples frase matemática [tex]\boxed{x-5=0}[/tex] se enquadra nas nossas discussões, já que ela não é uma proposição, por não ter um valor lógico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de útil e imprescindível, a lógica proposicional não é suficiente para se estudar Matemática: temos que, de alguma forma, generalizar a lógica proposicional…
Essa generalização da lógica proposicional é denominada Lógica de Predicados, ou Lógica de primeira ordem.
Sentenças abertas e variáveis
Voltemos à frase [tex]\boxed{x-5=0}[/tex]; não é possível atribuirmos a ela um valor lógico, já que nela aparece um símbolo, a letra [tex]x[/tex], que representa um objeto não identificado explicitamente. A frase "[tex]x-5=0[/tex]" é um exemplo do que a Lógica denomina "sentença aberta" e a letra [tex]x[/tex] é a "variável" dessa sentença aberta. Embora não seja possível classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribuído um valor a [tex]x[/tex], por exemplo, [tex]5[/tex] ou [tex]10[/tex], a frase resultante ("[tex]5-5=0[/tex]" ou "[tex]10-5=0[/tex]") é uma proposição (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo).
Sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas; variáveis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "[tex]z[/tex] é a capital do Japão."; "Ela é minha prima.". Se a [tex]z[/tex] atribuir-se o conteúdo Tóquio, a primeira sentença será verdadeira; caso contrário, será falsa. Se a palavra "Ela" for substituída pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda sentença será verdadeira.
Assim, de maneira informal, as sentenças abertas são orações declarativas que, a princípio, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem referências a objetos não nomeados explicitamente. Fixada uma sentença aberta, os símbolos (geralmente letras minúsculas) que representam os objetos não explícitos (sujeitos lógicos) são as variáveis da sentença aberta. As variáveis, ao serem substituídas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da variável ou o universo do discurso), definem proposições propriamente ditas.
Seja [tex]U[/tex] um conjunto não vazio. Uma sentença aberta em [tex]U[/tex] é uma regra [tex]p(x)[/tex] que associa a cada elemento [tex]u[/tex] de [tex]U[/tex] uma única proposição [tex]p(u)[/tex].
O conjunto [tex]U[/tex] é chamado de domínio da variável [tex]x[/tex], ou conjunto universo, e cada elemento [tex]u\in U[/tex] é dito um valor da variável [tex]x[/tex].
Pelo exposto, uma sentença aberta com variável [tex]x[/tex] em um conjunto [tex]U[/tex] é uma expressão [tex]p(x)[/tex] tal que, para cada objeto [tex]u[/tex] do conjunto [tex]U[/tex], a substituição de [tex]x[/tex] por [tex]u[/tex] na expressão [tex]p(x)[/tex] resulta em uma expressão [tex]p(u)[/tex] verdadeira ou falsa. Também é importante observar que, se [tex]U[/tex] é o produto cartesiano dos conjuntos [tex]U_1, \, U_2, \, U_3, \, \cdots, \, U_n[/tex], isto é, [tex]U=U_1\times U_2 \times U_3 \times \cdots \times U_n[/tex], então [tex]x = (x_1, x_2, x_3, \, \cdots, \, x_n)[/tex] e, neste caso, temos uma sentença aberta de [tex]n[/tex] variáveis [tex]x_1, x_2, x_3, \, \cdots, \, x_n[/tex]. Dessa forma, sentenças abertas podem ter uma quantidade qualquer de variáveis.
(1) [tex]p(x): x^2+5=9[/tex], com [tex] U= \mathbb{N}[/tex].
Fazendo a substituição [tex]x=2[/tex], obtemos a proposição verdadeira
[tex]\quad p(2): 2^2+5=9[/tex].
Fazendo a substituição [tex]x=1[/tex], obtemos a proposição falsa
[tex]\quad p(1): 1^2+5=9[/tex].
(2) [tex]q(x_1, \, x_2): x_1+x_2 \gt 0[/tex], com [tex] U= \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/tex].
Fazendo a substituição [tex](x_1, \, x_2)=(10, \, -3)[/tex], obtemos a proposição verdadeira
[tex]\quad q(10, \, -3): 10-3 \gt 0[/tex].
Fazendo a substituição [tex](x_1, \, x_2)=(-3, \, -2)[/tex], obtemos a proposição falsa
[tex]\quad q(-3, \, -2): -3-2 \gt 0[/tex].
(3) [tex]r(x, \, y, \, z): x+y=z[/tex], com [tex] U= \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\mathbb{R^3}[/tex].
Fazendo a substituição [tex](x, \, y, \, z)=(2, \, 4, \, 6)[/tex], obtemos a proposição verdadeira
[tex]\quad r(2, \, 4, \, 6): 2+4=6[/tex].
Fazendo a substituição [tex](x, \, y, \, z)=(6, \, 4, \, 2)[/tex], obtemos a proposição falsa
[tex]\quad r(6, \, 4, \, 2): 6+4=2[/tex].
Fixada uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em um conjunto não vazio [tex]U[/tex], chamamos conjunto-verdade de [tex]p(x)[/tex] o conjunto de todos os elementos de [tex]U[/tex] que ao substituírem [tex]x[/tex] transformam [tex]p(x)[/tex] em uma proposição verdadeira. Esse conjunto é denotado por [tex]V_p[/tex] e, informalmente, é formado pelos elementos [tex]u \in U[/tex] tais que [tex]p(u)[/tex] é verdadeira.
Formalmente, [tex]V_p[/tex] é o conjunto dos elementos de [tex]U[/tex] que satisfazem as condições definidas pela sentença [tex]p(x)[/tex], ou seja:
[tex] V_p=\{x\in U[/tex], tal que [tex]p(x)\}[/tex].
(1) O conjunto-verdade de "[tex]p(x): x[/tex] é divisor de [tex]15[/tex]" em [tex]\mathbb{N}[/tex] é dado por:
[tex]V_p=\{x \in \mathbb{N} \, | \, x[/tex] é divisor de [tex]15\}=\{1, \, 3, \, 5, \, 15\}[/tex]
(2) O conjunto-verdade de "[tex]q(x): x-5 \gt 10[/tex]" em [tex]\mathbb{N}[/tex] é dado por:
[tex]V_q=\{x \in \mathbb{N} \, \, | \, \, x-5 \gt 10\}=\{16, \, 17, \, 18, \, \cdots\}[/tex]
(3) O conjunto-verdade de "[tex]r(x): x+3 \ge 2[/tex]" em [tex]\mathbb{R}[/tex] é dado por:
[tex]V_r=\{x \in \mathbb{R} \, | \, \, x+3 \ge 2\}=[-1, \, \infty[[/tex]
Sentenças abertas generalizam, de certa forma, as proposições; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposições para obter novas sentenças abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as sentenças abertas [tex]p(x)[/tex] e [tex]q(x)[/tex] no conjunto [tex]U[/tex] podemos obter novas sentenças abertas como:
[tex]\qquad \qquad \sim p(x)\; , \; p(x) \land q(x)\; , \; p(x) \lor q(x)\; , \; p(x) \rightarrow q(x)\; , \; p(x) \longleftrightarrow q(x)[/tex].
Quantificadores
A partir da discussão acima, podemos observar que, de modo geral, frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.
Considerando a sentença aberta "[tex]p(x): x-5=0[/tex]" no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos [tex]x=5[/tex], obtemos a proposição verdadeira [tex]x-5=0[/tex], que é uma maneira diferente de escrever [tex]5-5=0[/tex]; ao passo que se fixarmos [tex]x=10[/tex], obtemos a proposição falsa [tex]x-5=0[/tex] ([tex]10-5=0[/tex]).
Mas essa não é a única maneira de "transformar sentenças abertas em proposições". Particularmente, as frases
"[tex]x-5=0[/tex] para um número natural [tex]x[/tex]."
"[tex]x-5=0[/tex] para dois números naturais [tex]x[/tex]."
"[tex]x-5=0[/tex] para nenhum número natural [tex]x[/tex]."
são também proposições: a primeira verdadeira e as duas outras falsas. Perceba que, ao invés de fixar, quantificamos a variável [tex]x[/tex].
Pois bem, de modo geral, temos então duas maneiras de obter proposições a partir de uma sentença aberta: fixando as variáveis da sentença ou quantificando-as. Vamos, agora, fixar a nossa atenção no processo de "quantificar" variáveis.
Vejamos outros exemplos.
(1) A partir da sentença aberta "[tex]p(x): x^2-1=0[/tex]" em [tex]\mathbb{Z}[/tex], podemos obter as proposições:
➤ Existe [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{Z}[/tex] tal que [tex]x^2-1=0[/tex]. (Proposição verdadeira; tome, por exemplo, [tex]x=1[/tex].)
➤ Existe um único [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{Z}[/tex] tal que [tex]x^2-1=0[/tex]. (Proposição falsa; faça [tex]x=1[/tex] ou [tex]x=-1[/tex].)
➤ Para todo [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{Z}[/tex], [tex]x^2-1=0[/tex]. (Proposição falsa; [tex]x=5[/tex] não satisfaz a sentença [tex]x^2-1=0[/tex], pois [tex]5^2-1=24 \ne 0[/tex].)
(2) A partir da sentença aberta "[tex]q(x): \sqrt{x^2}=x[/tex]" em [tex]\mathbb{R}[/tex], podemos obter as proposições:
➤ Existe [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{R}[/tex] tal que [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex]. (Proposição verdadeira; tome, por exemplo, [tex]x=0[/tex] e observe que [tex]\sqrt{0^2}=0[/tex].)
➤ Existe um único [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{R}[/tex] tal que [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex]. (Proposição falsa; faça [tex]x=1[/tex] ou [tex]x=0[/tex].)
➤ Para todo [tex]x[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]\sqrt{x^2}=x[/tex]. (Proposição falsa; faça [tex]x=-2[/tex] e observe que [tex]\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\ne -2[/tex].)
(3) A partir da sentença aberta "[tex]r(n, \, m): n+m=29[/tex]" em [tex]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex], podemos obter as proposições:
➤ Existe [tex](n, \, m)[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n+m=29[/tex]. (Proposição verdadeira; tome, por exemplo, [tex](n, \, m)=(20, \, 9)[/tex] e observe que [tex]20+9=29[/tex].)
➤ Existe um único par ordenado [tex](n, \, m)[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n+m=29[/tex]. (Proposição falsa; observe que os pares [tex](20, \, 9)[/tex] e [tex](27, \, 2)[/tex] satisfazem a condição definida pela sentença aberta [tex]r(n, \, m)[/tex].)
➤ Para todo par ordenado [tex](n, \, m)[/tex] pertencente a [tex]\mathbb{N} \times \mathbb{N}[/tex], [tex]n+m=29[/tex]. (Proposição falsa; o par ordenado [tex](1, \, 2)[/tex] não satisfaz a condição definida pela sentença aberta [tex]r(n, \, m)[/tex].)
Para as nossas finalidades, quantificar variáveis de uma sentença aberta significa determinar a "quantidade" de elementos do domínio da sentença que definem proposições verdadeiras. Na Matemática há três maneiras formais de quantificarmos variáveis de sentenças abertas:
➤ afirmando que todos os elementos do domínio transformam a sentença aberta em proposições verdadeiras;
➤ afirmando que pelo menos um dos elementos do domínio transforma a sentença aberta em uma proposição verdadeira;
➤ afirmando que exatamente um dos elementos do domínio transforma a sentença aberta em uma proposição verdadeira.
Expressões como "existe", "existe um único" e "para todo” são denominadas quantificadores e serão apresentadas mais formalmente a seguir.
Quantificador Universal
O quantificador universal é usado para representar afirmações universais que no Português são expressas por orações como:
• Para todo mundo …
• Todos aqui …
• Qualquer um que …
Na Matemática esse tipo de frase aparece quando temos uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[/tex] é tal que [tex]V_p=U[/tex]. Neste caso, todos os elementos de [tex]U[/tex] irão satisfazer [tex]p(x)[/tex], ou seja, "para todos os elementos [tex]u[/tex] de [tex]U[/tex], [tex]p(u)[/tex] deve ser verdadeira".
Podemos expressar essa situação como:
para todo [tex]x \in U, \, p(x)[/tex] é verdadeira;
ou ainda,
qualquer que seja o [tex]x \in U[/tex], tem-se que [tex]p(x)[/tex] é verdadeira.
e, formalmente, por:
[tex]\qquad (\forall x \in U) \, (p(x))[/tex]
ou
[tex]\qquad \forall x \in U, \, p(x)[/tex].
Portanto,
Se [tex]p(x)[/tex] for uma sentença aberta em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade é [tex]V_p[/tex], então:
➤ a frase " [tex]\forall x \in U, \, p(x)[/tex]" é uma proposição verdadeira, se [tex]V_p=U[/tex];
➤ a frase " [tex]\forall x \in U, \, p(x)[/tex] " é uma proposição falsa, se [tex]V_p\ne U[/tex].
Deste modo, dada uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em [tex]U[/tex], o símbolo [tex]\forall[/tex] referindo-se à variável [tex]x[/tex] representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em uma proposição. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e o símbolo ∀ é chamado quantificador universal.
✐ Exemplos:
(1) " [tex]\forall x \in \mathbb{N},\,x \ge 0[/tex] " é uma proposição verdadeira.
(2) " Em qualquer triângulo [tex]ABC[/tex], a soma das medidas dos seus ângulos internos é [tex]180^{\circ}[/tex]" é uma proposição verdadeira.
(3) " [tex]\forall n \in \mathbb{Z},\,\sqrt{n} \in \mathbb{R}[/tex] " é uma proposição falsa.
Em textos de Matemática elementar, a quantificação universal é frequentemente omitida pelo bem da simplicidade. Por exemplo, a frase
➤ "[tex](x+1)\cdot (x-1) = x^2-1[/tex]",
em livros do ensino básico, deve ser entendida como "para todo número real [tex]x, \, (x+1)\cdot (x-1) = x^2-1[/tex]".
(*) O símbolo " [tex]\forall[/tex]" é a letra A invertida e tem sua origem na palavra alemã para universalidade que é Allgemeinheit e na inglesa All que significa todo.
Quantificador Existencial
O quantificador existencial é usado para representar afirmações existenciais que no Português são expressas por orações como:
• Existe alguém que …
• Para algum destes …
• Existe pelo menos um de nós …
Na Matemática esse tipo de frase aparece quando temos uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[/tex] é não vazio. Neste caso, existe algum elemento de [tex]U[/tex] que irá satisfazer [tex]p(x)[/tex], ou seja, "para algum elemento [tex]u[/tex] de [tex]U[/tex], [tex]p(u)[/tex] deve ser verdadeira".
Essa situação pode ser expressa como:
para algum [tex]x \in U, \, p(x)[/tex] é verdadeira;
ou ainda,
existe pelo menos um [tex]x \in U[/tex] para o qual [tex]p(x)[/tex] é verdadeira.
e, formalmente, por:
[tex]\qquad (\exists \, x \in U) \, (p(x))[/tex]
ou simplesmente
[tex]\qquad \exists \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex].
Portanto,
Se [tex]p(x)[/tex] for uma sentença aberta em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade é [tex]V_p[/tex], então:
➤ a frase " [tex]\exists \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex]" é uma proposição verdadeira se [tex]V_p\ne \emptyset[/tex];
➤ a frase " [tex]\exists \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex] " é uma proposição falsa se [tex]V_p= \emptyset[/tex].
Deste modo, dada uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em [tex]U[/tex], o símbolo [tex]\exists \, [/tex] referindo-se à variável [tex]x[/tex] representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em uma proposição. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e o símbolo ∃ é chamado quantificador existencial.
✐ Exemplos:
(1) " [tex]\exists \, x \in \mathbb{N} \, \, | \, \, x -6= 0[/tex] " é uma proposição verdadeira.
(2) " Existe um triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados medem [tex]1 \, [/tex]cm, [tex]2 \, [/tex]cm e [tex]4 \, [/tex]cm" é uma proposição falsa.
(3) " [tex]\exists \, x \in \mathbb{R} \, \, | \, \, x^2 \lt 0 [/tex]" é uma proposição falsa.
(*) O símbolo " [tex]\exists \, [/tex]" é a letra E invertida e tem sua origem na palavra existe em vários idiomas.
(**) A barra vertical | pode ser lida como tal que.
Quantificador Existencial de Unicidade
O quantificador existencial de unicidade é usado para representar afirmações de existência única que no Português são expressas por orações como:
• Existe um único …
• Existe exatamente um …
• Existe apenas uma pessoa …
Na Matemática esse tipo de frase aparece quando temos uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade [tex]V_p[/tex] é unitário. Neste caso, existe somente um elemento de [tex]U[/tex] que irá satisfazer [tex]p(x)[/tex], ou seja, "para apenas um elemento [tex]u[/tex] de [tex]U[/tex], [tex]p(u)[/tex] será verdadeira".
Essa situação pode ser expressa como:
para somente um [tex]x \in U, \, p(x)[/tex] é verdadeira;
ou ainda,
existe um único [tex]x \in U[/tex] para o qual [tex]p(x)[/tex] é verdadeira.
e, formalmente, por:
[tex]\qquad (\exists ! \, x \in U) \, (p(x))[/tex]
ou simplesmente
[tex]\qquad \exists ! \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex].
Portanto,
Se [tex]p(x)[/tex] for uma sentença aberta em um conjunto [tex]U[/tex] cujo conjunto-verdade é [tex]V_p[/tex], então:
➤ a frase " [tex]\exists ! \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex]" é uma proposição verdadeira se o número de elementos de [tex]V_p[/tex] for [tex]1[/tex];
➤ a frase " [tex]\exists ! \, x \in U \, \, | \, \, p(x)[/tex] " é uma proposição falsa se o número de elementos de [tex]V_p[/tex] for diferente de [tex]1[/tex].
Deste modo, dada uma sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em [tex]U[/tex], o símbolo [tex]\exists ! [/tex] referindo-se à variável [tex]x[/tex] representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta [tex]p(x)[/tex] em uma proposição. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial de unicidade e o símbolo ∃! é chamado quantificador existencial de unicidade.
✐ Exemplos:
(1) " [tex]\exists ! \, x \in \mathbb{Z} \, \, | \, \, x^2-4= 0[/tex] " é uma proposição falsa.
(2) " [tex]\exists ! \, n \in \mathbb{N} \, \, | \, \, n \lt 1[/tex] " é uma proposição verdadeira.
(3) " [tex]\exists ! \, x \in \mathbb{R} \, \, | \, \, x^2 = 0 [/tex]" é uma proposição verdadeira.
Não é nossa intenção fazer um estudo rigoroso da Lógica, mas algumas considerações sobre quantificadores se fazem necessárias. Vamos listá-las a seguir e apresentar um rápido comentário sobre cada uma delas.
Proposições podem ser negadas e sentenças abertas quantificadas são proposições; portanto, uma pergunta natural é: como negar proposições quantificadas?
No que se refere à negação desse tipo de proposição, temos duas regras fundamentais, para as quais consideraremos que [tex]p(x)[/tex] é uma sentença aberta em [tex]U[/tex].
(i) A negação da afirmação [tex](\forall x \in U)(p(x))[/tex] é equivalente à afirmação de que existe, pelo menos, um [tex]x \in U[/tex] para o qual [tex]p(x)[/tex] é falsa, ou então que [tex]\sim p(x)[/tex] é verdadeira.
A próxima equivalência de fórmulas nos dá a primeira regra de negação:
[tex]\sim \left(\forall \, x \in U, \, p(x)\right) \Longleftrightarrow \exists \, x \in U \, | \sim p(x) [/tex]
Desta maneira, mostrar que uma proposição do tipo "[tex] \forall \, x \in U, \, p(x)[/tex]" é falsa significa mostrar que a proposição "[tex] \exists \, u \in U \, \, | \, \sim p(u)[/tex]" é verdadeira. Um elemento [tex]u \in U [/tex] que satisfaça essa condição é dito um contraexemplo.
(ii) Da mesma forma, negar a fórmula [tex]\left(\exists \, x \in U \right) \, (p(x))[/tex] equivale a afirmar que, para todos os elementos [tex]x \in U[/tex], a sentença [tex]p(x)[/tex] deve ser falsa, ou então que a sentença [tex]\sim p(x)[/tex] deve ser verdadeira.
Assim, a próxima equivalência de fórmulas nos dá a segunda regra de negação:
[tex]\sim \left(\exists \, x \in U \, | \, p(x) \right)\Longleftrightarrow \forall \, x \in U, \sim p(x) [/tex]
Até agora tratamos explicitamente da quantificação de sentenças abertas com uma variável. Mas, sentenças abertas podem ter mais de uma variável; assim mais uma pergunta lógica seria: como fica a quantificação de sentenças abertas com mais de uma variável?
De modo geral, as sentenças abertas podem admitir tantos quantificadores quanto o número de suas variáveis distintas e as variáveis de uma sentença se classificam em quantificadas ou livres:
➤ variável quantificada é aquela que se apresenta na sentença acompanhada de quantificador;
➤ variável livre é aquela que se apresenta na sentença sem quantificador.
Dada uma sentença aberta com mais de uma variável, a aplicação de apenas um quantificador a uma de suas variáveis transforma a sentença aberta em outra aberta com menos uma variável livre. Desse modo, para transformarmos uma sentença aberta com mais de uma variável em uma proposição, é necessário quantificar TODAS as variáveis desta sentença.
Por exemplo, a frase "[tex]\exists x \in \mathbb{N} \, | \, x + y =5[/tex]" não é uma proposição; pois a variável [tex]y[/tex] não está quantificada. A frase é uma sentença aberta na variável [tex]y[/tex]. No entanto, a frase "[tex]\exists \, x \in \mathbb{N}, \exists \, y \in \mathbb{N} \, | \, x + y =5[/tex]" é uma proposição, e verdadeira.
Observe que a segunda frase poderia ser reescrita como "[tex]\exists (x, \, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \, | \, x + y =5[/tex]".
✐ É importante observar que a negação de uma proposição com mais de um quantificador é feita mediante a aplicação sucessiva das regras para a negação de proposições com um quantificador. Por exemplo, dada uma sentença aberta [tex]p(x,y)[/tex] em [tex]U = X \times Y[/tex], temos que:
[tex]\qquad \qquad \sim \left(\forall \, x \in X, \exists \, y \in Y \, | \, p(x,y) \right)\Longleftrightarrow \exists \, x \in X \, | \, \forall \, y \in Y, \sim p(x,y) \\
\qquad \qquad \sim \left(\forall \, x \in X, \forall \, y \in Y \, | \, p(x,y) \right)\Longleftrightarrow \exists \, x \in X, \, \exists \, y \in Y \, | \sim p(x,y) \\
\qquad \qquad \sim \left(\exists \, x \in X \, | \, \forall \, y \in Y \, , p(x,y) \right)\Longleftrightarrow \forall \, x \in X, \exists \, y \in Y \, | \sim p(x,y) \\
[/tex]
Assim, a negação da proposição " [tex]\forall \, x \in \mathbb{R}, \exists \, y \in \mathbb{R} \, | \, x+y \lt 50 [/tex]" é "[tex]\exists \, x \in \mathbb{R} \, | \, \forall \, y \in \mathbb{R}, \, x+y \ge 50 [/tex]".
Os quantificadores de uma dada fórmula somente podem ser comutados de acordo com as seguintes regras:
(i) Quantificadores de mesmo tipo podem ser comutados.
(ii) Quantificadores de tipos distintos não podem ser comutados.
Portanto, temos, em particular, que são válidas as seguintes equivalências:
[tex]\qquad \qquad (\exists \, x) (\exists \, y) (p(x,y)) ⇔ (\exists \, y) (\exists \, x) (p(x,y))[/tex]
[tex]\qquad \qquad \forall \, x \in A, \forall \, y\in B, \, p(x,y) ⇔ \forall \, y \in B, \forall \, x\in A, \, p(x,y)[/tex]
mas, as proposições "[tex]\forall \, x\in A, \exists \, y\in B \, | \, \, p(x,y)[/tex]" e "[tex]\exists \, y \in B \, | \, \forall \, x\in A, \, p(x,y)[/tex]" não são equivalentes.
Perceba, por exemplo, que a frase
"para todo ser humano [tex]x[/tex], existe um ser humano [tex]y[/tex] tal que [tex]y[/tex] é pai de [tex]x[/tex]"
claramente não é equivalente à frase
"existe um ser humano [tex]y[/tex] tal que, para todo ser humano [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] é pai de [tex]x[/tex]".
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Acho que vocês vão precisar de alguns exercícios… |
Equipe COM – OBMEP