7. Ilustrações e exercícios

✐ Escreva em linguagem simbólica cada uma das afirmações abaixo. Explicite para cada uma o universo de discurso e se nesse universo a afirmação é verdadeira.

(a) Existe um inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]4 = n + 2[/tex].
(b) Para qualquer inteiro [tex]n[/tex], [tex]4 = n + 2[/tex].
(c) Todos os estudantes gostam de lógica.
(d) Cada pessoa tem uma mãe.
(e) Alguns inteiros são pares e divisíveis por [tex]5[/tex].
(f) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por [tex]5[/tex].
(g) Pelo menos uma letra da palavra laranja é vogal.
(h) [tex]x^2-16=0[/tex] possui uma solução positiva.
(i) Toda solução de [tex]x^2-16=0[/tex] é positiva.
(j) Para todo inteiro [tex]n[/tex], existe um inteiro [tex]t[/tex] tal que [tex]n=2t[/tex].
(k) A soma de quaisquer dois inteiros ímpares é ímpar.

✐ Apresente um exemplo de proposição para cada fórmula abaixo e analise se as proposições apresentadas são verdadeiras ou falsas.

(a) [tex] \exists \, x \in U \, | \, (p(x)\land q(x)). [/tex]
(b) [tex] [ \exists \, x \in U \, | \, p(x) ] \land \left[ \exists \, x \in U \, | \, q(x) \right]. [/tex]

✐ As bicondicionais abaixo são falsas ou verdadeiras? Dê exemplos para mostrar as falsas.

(a) [tex][ \exists \, x \in U \, | \, (p(x)\lor q(x))] \longleftrightarrow [\exists \, x \in U \, | \, p(x) \lor \exists \, x \in U \, | \, q(x) ]. [/tex]
(b) [tex][ \forall \, x \in U, \, (p(x)\lor q(x))] \longleftrightarrow [(\forall \, x \in U, \, p(x)) \lor (\forall \, x \in U, \, q(x))]. [/tex]
(c) [tex][ \forall \, x \in U, \, (p(x)\land q(x))] \longleftrightarrow [(\forall \, x \in U, \, p(x)) \land (\forall \, x \in U, \, q(x))]. [/tex]

✐ Utilize quantificadores para transformar as próximas sentenças abertas em proposições verdadeiras no conjunto dos números reais.

✐ Considere [tex]U=\{1, 2, … 9, 10\}[/tex] e determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

(a) [tex]\forall \, x \in U, \exists \, y \in U \, | \, x + y = 16[/tex]
(b) [tex]\forall \, x \in U \, e \, \forall \, y \in U, \, x + y \lt 16[/tex]
(c) [tex]\exists \, x \in U \, e \, \exists \, y \in U \, | \, x + y \gt 16[/tex]
(d) [tex]\exists \, x \in U \, | \, \forall \, y \in U, \, x + y = 16[/tex]

Para distrair…
✐ (CANGURU – 2009: NÍVEL C) Na ilha dos verazes e mentirosos, [tex]25[/tex] pessoas esperam em uma fila.
Todo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente é um mentiroso.
O primeiro da fila disse que todos atrás dele são mentirosos.
Quantos mentirosos há na fila?
Observação: Os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira.

✐ (CANGURU – 2010: NÍVEL C) Numa sala de reunião havia algumas pessoas que diziam somente a verdade e as demais somente mentiam. Num dado momento, três pessoas fizeram as afirmações a seguir.
1ª pessoa: "Não há mais do que três pessoas nesta sala. Todos nós somos mentirosos."
2ª pessoa: "Não há mais do que quatro pessoas nesta sala. Alguns não são mentirosos."
3ª pessoa: "Há cinco pessoas nesta sala. Três são mentirosas."
Quantas pessoas havia na sala e quantas entre elas eram mentirosas?

✐ (CANGURU – 2012: NÍVEL S) Todo gato no País das Maravilhas é sábio ou louco.
Se um gato sábio estiver em uma sala onde há mais três gatos loucos, então ele também se torna louco.
Se um gato louco estiver com outros três gatos sábios numa mesma sala, então ele será declarado louco pelos gatos sábios.
Três gatos entraram numa sala vazia e, assim que um quarto gato entrou nessa sala, o primeiro que havia entrado, saiu.
Logo que o quinto gato entrou, saiu o segundo que tinha entrado, e assim por diante.
Depois que o 2012º gato entrou, aconteceu pela primeira vez de um gato ser declarado louco.
Quais dos dois gatos a seguir poderiam estar loucos logo depois de entrar na sala?
(A) O 1º e o 2011º
(B) O 2º e o 2010º
(C) O 3º e o 2009º
(D) O 4º e o 2012º
(E) O 2º e o 2011º