.Problema para ajudar na escola: Transformados em múltiplos de 30

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

(ONEM, 2008 – Adaptado) Quantos números com três algarismos distintos satisfazem a propriedade abaixo?

Ao substituir o maior algarismo por $1$ , o número obtido é múltiplo de $30$ .

Ajuda

Divisibilidade por $3$ : Para um número natural ser divisível por $3$ , é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por $3$ .
Divisibilidade por $10$ : Para um número natural ser divisível por $10$ , é necessário e suficiente que ele termine em $0$ .
Divisibilidade por $30$ : Para um número natural ser divisível por $30$ , é necessário e suficiente que ele seja divisível simultaneamente por $3$ e $10$ .

Solução

Suponhamos que $N=abc$ seja um número de três algarismos distintos que satisfaz a propriedade exigida pelo problema.

Como a propriedade em questão se refere ao maior algarismo de $N$ , vamos analisar separadamente três situações: o maior algarismo de $N$ é $a$ , $b$ ou $c$ .

O maior algarismo é $c$ :

Este é o caso mais simples de ser analisado. Observe que ao substituirmos $c$ por $1$ , ficamos com o número $\boxed{S=ab1}$ que particularmente não é um múltiplo de $10$ , pois não termina em $0$ . Consequentemente, o número $S$ resultante da substituição não é múltiplo de $30$ e, portanto, o número $N$ não satisfaz, de fato, a propriedade exigida.
Com isso, este caso está eliminado, ou seja, o maior algarismo de $N$ não pode ser $c$ .

O maior algarismo é $b$ :

Neste caso, ao substituirmos

$b$ por

$1$ , ficamos com o número

$\boxed{S=a1c}$ .

Como $S$ é um múltiplo de $30$ , particularmente $S$ é um múltiplo de $10$ e, assim, $c=0$ . Com isso, $S$ é da forma $S=a10\,.$
Como $S$ é um múltiplo de $30$ , particularmente $S=a10$ é um múltiplo de $3$ . Logo, $a+1+0=a+1$ é divisível por $3$ .

Como os três dígitos de $S$ são distintos, temos nove possibilidades para o algarismo $a$ . Vamos testá-las:

Se $a=1$ , então $N=110$ e $110$ não é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=2$ , então $N=210$ e $210$ é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=3$ , então $N=310$ e $310$ não é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=4$ , então $N=410$ e $410$ não é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=5$ , então $N=510$ e $510$ é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=6$ , então $N=610$ e $610$ não é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=7$ , então $N=710$ e $710$ não é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=8$ , então $N=810$ e $810$ é um múltiplo de $3\,.$
Se $a=9$ , então $N=910$ e $910$ não é um múltiplo de $3\,.$

Temos então apenas três possibilidades para $S$ : $210,\,510,\, 810\,.$ Mas observe que:
Se $S=210$ , então $N=2b0$ , com $b \gt 2$ , já que $b$ é o maior algarismo neste caso. Então, teremos sete casos possíveis para $b$ : $b=3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$ . Dessa forma, temos neste caso $\boxed{7}$ possibilidades de valores para $N\,.$
Se $S=510$ , então $N=5b0$ , com $b \gt 5$ ( $b$ é o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos possíveis para $b$ : $b=6,\,7,\,8,\,9$ . Logo, conseguimos mais $\boxed{4}$ possibilidades de valores para $N\,.$
Se $S=810$ , então $N=8b0$ , com $b \gt 8$ . Portanto, teremos um caso possível para $b$ : $b=9$ e mais $\boxed{1}$ possibilidade de valor para $N\,.$
Temos então neste segundo caso $7+4+1=12$ números $N$ que satisfazem a propriedade requerida.

O maior algarismo é $a$ :

Neste caso, ao substituirmos

$a$ por

$1$ , ficamos com o número

$\boxed{S=1bc}$ .

Como $S$ é um múltiplo de $30$ , particularmente $S$ é um múltiplo de $10$ e, assim, $c=0$ . Com isso, $S$ é da forma $S=1b0\,.$
Como $S$ é um múltiplo de $30$ , particularmente $S=1b0$ é um múltiplo de $3$ . Logo, $1+b+0=b+1$ é divisível por $3$ . Fazendo as mesmas análises do caso anterior, obtemos três possibilidades para $S$ : $120,\,150,\, 180\,.$

Agora, observe que:
Se $S=120$ , então $N=a20$ , com $a \gt 2$ , já que aqui $a$ é o maior algarismo. Então, teremos sete casos possíveis para $a$ : $a=3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$ . Temos neste caso $\boxed{7}$ possibilidades de valores para $N\,.$
Se $S=150$ , então $N=a50$ , com $a \gt 5$ ( $a$ é o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos possíveis para $a$ : $a=6,\,7,\,8,\,9$ . Portanto, conseguimos mais $\boxed{4}$ possibilidades de valores para $N\,.$
Se $S=180$ , então $N=a80$ , com $a \gt 8$ . Com isso, teremos um caso possível para $b$ : $b=9$ e mais $\boxed{1}$ possibilidade de valor para $N\,.$
Neste terceiro caso, obtemos também $7+4+1=12$ números $N$ que satisfazem a propriedade requerida.

Dessa forma, por (1), (2) e (3), concluímos que existem $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12+12=24$}\,$ números que satisfazem as condições do problema.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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