Mais um papel da divisão na Análise Combinatória – Problemas
Mais um papel da divisão
na Análise Combinatória
Problema 1
O senhor Bruno realiza cinco atividades diárias durante as manhãs da semana. São elas:
Levar a filha à escola;
Tomar café da manhã:
Comprar o Jornal;
Fazer exercícios físicos;
Buscar a filha na escola.
De quantas maneiras diferentes o senhor Bruno poderia fazer essas atividades?
Antes de resolver o problema, vamos identificar as atividades da seguinte forma:
[tex]A[/tex]) Levar a filha à escola;
[tex]B[/tex]) Tomar café da manhã:
[tex]C[/tex]) Comprar o Jornal;
[tex]D[/tex]) Fazer exercícios físicos;
[tex]E[/tex]) Buscar a filha na escola.
Agora, perceba que o problema tem uma restrição: o senhor Bruno não pode buscar a filha na escola sem antes tê-la levado. Com isso, devemos ter sempre a atividade [tex]A[/tex] antes da [tex]E[/tex].
Podemos, então, encarar o problema como formar um anagrama da palavra [tex]ABCDE[/tex], mantendo as vogais em ordem alfabética.
Neste caso, obtemos como resposta [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{5!}{2!}=60$} \, .[/tex]
Problema 2
E se as atividades do senhor Bruno fossem:
Levar a filha à escola;
Tomar café da manhã:
Comprar o Jornal;
Fazer exercícios físicos;
Buscar a filha na escola;
Ler o Jornal;
de quantas maneiras ele poderia executá-las?
Antes de resolver o problema, podemos identificar as seis atividades da seguinte forma:
[tex]A[/tex]) Levar a filha à escola;
[tex]B[/tex]) Tomar café da manhã:
[tex]C[/tex]) Comprar o Jornal;
[tex]D[/tex]) Fazer exercícios físicos;
[tex]E[/tex]) Buscar a filha na escola;
[tex]F[/tex]) Ler o Jornal.
Agora o problema apresenta duas restrições: o senhor Bruno "não pode buscar a filha na escola sem antes tê-la levado" e "só poderá ler o jornal depois de tê-lo comprado".
Dessa forma, o que temos é uma situação análoga a determinar os anagramas da palavra [tex]ABCDEF[/tex], com o [tex]A[/tex] aparecendo antes do [tex]E[/tex] e, o [tex]C \, [/tex], antes do [tex]F[/tex]. Vamos determinar quantos são esses anagramas.
O total de anagramas em que o [tex]A[/tex] e o [tex]E[/tex] estão em ordem alfabética é [tex]\dfrac{6!}{2!}[/tex].
Destes, há dois tipos:
anagramas em que o [tex]C[/tex] figura antes do [tex]F \, [/tex];
anagramas em que o [tex]F[/tex] figura antes do [tex]C.[/tex]
Portanto, a resposta do problema fica [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{\frac{6!}{2!}}{{2!}}=\dfrac{6!}{2!2!}=180$} \, .[/tex]
Mais uma vez, é importante perceber que o primeiro [tex]2![/tex] surge porque queremos o [tex]A[/tex] na frente do [tex]E[/tex] e, o segundo [tex]2![/tex], porque queremos também o [tex]C[/tex] na frente do [tex]F[/tex].
Problema 3
Na imagem acima temos doze crianças – sete meninos e cinco meninas- e todos com alturas diferentes.
De quantas maneiras podemos formar uma fila, de forma que os meninos entre si e as meninas entre si estejam em ordem crescente de altura?
O número total de filas, sem restrições, é [tex]12! \, .[/tex]
Para colocar as meninas em ordem crescente basta dividirmos esse total por [tex]5![/tex].
Até agora, obtivemos a quantidade de filas com as meninas ordenadas por altura, mas nessas filas os meninos ainda não estão ordenados.
Podemos então obter a quantidade dessas filas nas quais os meninos aparecem ordenados de acordo com suas respectivas alturas, dividindo o total resultante da ordenação das meninas segundo as suas alturas por [tex]7![/tex].
Portanto, o resultado final é [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{\frac{12!}{5!}}{7!}=\dfrac{12!}{5!7!}=792$} \, .[/tex]
Dessa forma, são [tex]792[/tex] filas possíveis de serem formadas, segundo as condições do problema.
Problema 4
Martín teve a ideia de convidar todos os sete novos amigos para um churrasco. Para isso, é necessário ir até à casa de cada um deles. De quantas maneiras isso pode ser feito se a primeira casa visitada deve ser a da Magali e, para que não haja brigas, antes de passar na casa do Cebolinha e do Cascão, Martín deve passar na casa da Mônica?
Como a primeira casa a ser visitada por Martín é a da Magali, o que nos resta é contar de quantas maneiras Martín pode passar nas outras seis casas.
A princípio a resposta seria [tex]6![/tex]. Porém, com a restrição relativa ao Cebolinha e ao Cascão, temos dois casos para considerar:
primeiro Martín pode passar na casa da Mônica, depois na do Cascão e em seguida na do Cebolinha (o que pode ocorrer de [tex]\dfrac{6!}{3!}=120[/tex] maneiras);
primeiro Martín passa na casa da Mônica, depois na do Cebolinha e em seguida na do Cascão (o que também pode ocorrer de [tex]\dfrac{6!}{3!}=120[/tex]).
No total, pelo princípio aditivo, existem [tex]\fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$120+120=240$}[/tex] maneiras diferentes de Martín fazer os convites para seus amigos, respeitadas as regras impostas.
Problema 5
Em um torneio de tiro, oito alvos são dispostos em três correntes penduradas, como mostra a figura abaixo.
Os primeiros alvos de cada corrente estão presos a um suporte e os outros estão presos aos respectivos alvos imediatamente acima.
Para ganhar a competição todos os oito alvos devem ser atingidos. Assim, se um competidor acertar um alvo sem ter atirado no(s) que está(ão) abaixo, este(s) cairá(ão) e o competidor não ganhará a pontuação relativa aos alvos perdidos.
Para obter a pontuação máxima do torneio, de quantas maneiras diferentes cada competidor pode acertar os oito alvos?
Vamos imaginar que cada alvo receba uma letra, como na figura.
Estamos interessados nos anagramas da palavra [tex]ABCDEFGH[/tex], que no total são [tex]8! \, [/tex], tais que
[tex]ABC[/tex] apareça em ordem alfabética (basta dividir por [tex]3![/tex]),
[tex]DE[/tex] em ordem alfabética (dividir por [tex]2![/tex]) e
[tex]FGH[/tex] também em ordem alfabética (dividir por [tex]3![/tex]).
Ficamos, então, com um total de [tex] \, \fcolorbox{#589386}{#ddebe8}{$\dfrac{8!}{3!2!3!}=560$} \, [/tex] possibilidades de acertos dos oito alvos, conforme as regras impostas.
Os próximos problemas são para vocês…
Problema 6
Quantos são os anagramas da palavra [tex]UNIVERSO[/tex] em que as vogais aparecem em ordem alfabética?
[tex]\dfrac{8!}{4!}=1680[/tex]
Problema 7
Vamos formar sequências com todos os números naturais [tex]1, \, 2, \, \cdots , \, 10[/tex] de modo que o [tex]5[/tex] esteja situado à direita do [tex]2[/tex] e à esquerda do [tex]3[/tex], embora não necessariamente em lugares consecutivos.
Quantas sequências obteremos?
[tex]\dfrac{10!}{3!}=604800[/tex]
Problema 8
Um dos desenhos mais famosos e engraçados de competição é o "CORRIDA MALUCA". Nele os carros dos onze competidores são numerados de 00 a 10.
Na próxima corrida, os competidores serão colocados em fila, de maneira que os números pares fiquem em ordem decrescente e os ímpares em ordem crescente.
De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?
[tex]\dfrac{11!}{6!5!}=462[/tex]
Problema 9
Um dos competidores da "CORRIDA MALUCA" é o Dick Vigarista (carro 00).
Como o próprio nome indica, ele sempre tenta trapacear durante as corridas. Por esse motivo, na próxima corrida, ele deverá largar na última posição.
De quantas maneiras poderá ser montada a largada, respeitando a ordem estabelecida no problema anterior?
