.Problemão: Critério de divisibilidade por 7 para um número de 6 algarismos

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

(FOMIM, D.; GENKIN, S. ITENBERG, I. Círculos Matemáticos: A experiência Russa – Adaptado) No sistema decimal, considere um número [tex]abcdef [/tex] com seis algarismos, ou seja,
\begin{equation} abcdef = a\cdot 10^{5} + b \cdot 10^{4} + c \cdot 10^{3} + d \cdot 10^{2}+e \cdot 10+f \cdot 10^{0}, \end{equation} com [tex] a,b,c,d,e,f \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\,a\ne 0 .[/tex]
Sabendo que [tex]abc-def [/tex] é divisível por [tex] 7[/tex], podemos afirmar que [tex] abcdef [/tex] é divisível por [tex]7?[/tex]

Vamos ilustrar com um exemplo a situação do problema:

• [tex] abcdef=210693 [/tex]
• [tex] 210-693=-483=7 \times(-69) [/tex]
• [tex] abcdef=210693=7 \times 30099[/tex]

Solução

Por hipótese, temos que [tex]abc-def[/tex] é divisível por [tex]7[/tex], ou seja, existe um [tex] k[/tex] inteiro, tal que,
[tex]\qquad \boxed{abc-def=7 \cdot k}\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(Aqui, as notações [tex]abc[/tex] e [tex]def[/tex] não indicam produtos e sim representações de números de três algarismos no sistema decimal.)
Por outro lado,
[tex]\qquad \begin{eqnarray}
abcdef &=& a\cdot 10^{5} + b\cdot 10^{4} + c\cdot 10^{3} + d\cdot 10^{2}+e\cdot 10+f \\
&=&10^{3} \times (a\cdot 10^{2} +b\cdot 10+c) +d\cdot 10^{2} +e\cdot 10+f\\
&= & 10^{3}\cdot abc + def\\
&=& (10^{3} +1)abc +def -abc\\
&=& 1001\cdot abc -(abc – def)\\
&=& (7\cdot 143)\cdot abc -(abc – def).\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{eqnarray}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad abcdef = 7 \cdot 143 \cdot abc- 7k\\
\qquad abcdef =7\cdot (143\cdot abc-k).[/tex]
Note que [tex]n=143\cdot abc-k[/tex] é um número inteiro; assim,
[tex]\qquad abcdef =7\cdot n[/tex], com [tex]\,n\in \mathbb{Z}[/tex]
e, portanto, [tex]abcdef[/tex] é divisível por [tex] 7[/tex].

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