Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
A professora Noemi deve montar o horário do seu Clube de Matemática. Há apenas uma turma no Clube e os alunos terão aulas às segundas, quartas e sextas, das 09h às 10h e das 10h às 11h. As disciplinas são Aritmética, Geometria e Álgebra, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos Noemi pode montar esse horário?
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra), então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Para montar o horário, Noemi precisa tomar três decisões. Vejamos.
- 1ª decisão: Organizar o horário da segunda-feira.
- [tex]3[/tex] modos de escolher a disciplina que ficará de “fora” e
- [tex]2[/tex] modos de montar o horário das duas que terão aula nesse dia.
- [tex]2[/tex] modos de se escolher a disciplina que ficará de “fora” (não podemos repetir a mesma disciplina da segunda, pois se isso ocorrer teremos duas aulas dessa matéria na sexta) e
- [tex]2[/tex] modos de montar o horário das duas que terão aula na quarta.
- há apenas [tex]1[/tex] modo de escolher a disciplina que não terá aula e
- [tex]2[/tex] modos de montar o horário das aulas,
Para essa decisão, Noemi precisa escolher a disciplina que não terá aula nesse dia e depois organizar o horário com as duas disciplinas restantes. Note que são:
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem [tex]3\times 2=6[/tex] maneiras de se organizar o horário da segunda.
2ª decisão: Organizar o horário da quarta-feira.
De maneira análoga ao raciocínio anterior, Noemi precisa escolher a disciplina que não terá aula nesse dia e depois organizar o horário com as duas disciplinas restantes. Nesse momento, Noemi deve tomar cuidado na escolha da disciplina que não terá aula. Aqui, temos:
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, são [tex]2\times 2=4[/tex] as maneiras de organizar o horário da quarta.
3ª decisão: Organizar o horário da sexta-feira.
Para o último dia,
dessa forma, são [tex]1\times 2=2[/tex] maneiras de organizar o horário da sexta.
Para finalizar, utilizaremos novamente o Princípio Multiplicativo para calcular o número de maneiras de Noemi tomar as três decisões simultaneamente:
[tex]\qquad 6\times 4 \times 2=48.[/tex]
Portanto, Noemi pode organizar o horário do seu Clube de [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$48$}[/tex] modos diferentes.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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