.Problema: Um sistema de matrizes

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(Matemática- Dante, Vol. Único) Determine as matrizes [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] que são as soluções do sistema
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{cc}
X+Y=A+3B\\
X-Y=3A-2B\\
\end{array}
\right.,
\end{equation}
sendo [tex]A=\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array}
\right)[/tex] e [tex]B=\left(
\begin{array}{c}
4\\
2\\
0
\end{array}
\right)[/tex].

Solução

Notemos que sendo [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] matrizes de ordem [tex]3\times 1[/tex], então as matrizes [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] também terão essa ordem.
Vamos solucionar o sistema, usando o método de adição.

• Somando as duas equações do sistema temos que:

[tex] \qquad 2X=4A+B\\
\qquad X=\dfrac{1}{2}\cdot 4A+\dfrac{1}{2}B \\
\qquad \boxed{X=2A+\dfrac{1}{2}B}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

• Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] na segunda equação do sistema, [tex]X-Y=3A-2B[/tex], obtemos

[tex] \qquad 2A+\dfrac{1}{2}B-Y=3A-2B \\
\qquad -Y=3A-2B-2A-\dfrac{1}{2}B\\
\qquad -Y=A-\dfrac{5}{2}B\\
\qquad \boxed{Y=-A+\dfrac{5}{2}B}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Sendo [tex]A=\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array}
\right)[/tex] e [tex]B=\left(
\begin{array}{c}
4\\
2\\
0
\end{array}
\right)[/tex], segue por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] que:

Portanto, as soluções do sistema são [tex]X=\left(
\begin{array}{c}
4\\
1\\
4
\end{array}
\right)[/tex] e [tex]Y=\left(
\begin{array}{c}
9\\
5\\
-2
\end{array}
\right)[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.