Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Seja [tex]f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \, [/tex] a função definida por [tex]f (n) = n^4-2n^2-24.[/tex]
Entre os valores assumidos por [tex]f[/tex], existe algum número primo?
Lembretes
(i) Diferença de dois quadrados:
[tex]\qquad \qquad \boxed{m^2-n^2=(m+n) \cdot (m-n)}[/tex], [tex] \forall \, m,n\in\mathbb{R}[/tex]
(ii) Quadrado da diferença:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\left(m-n\right)^2=m^2-2\cdot m \cdot n+n^2}[/tex], [tex] \forall \, m,n\in\mathbb{R}[/tex]
Solução
Seja [tex]n[/tex] um número natural e considere a imagem [tex]f(n)=n^4-2n^2-24.[/tex] Note que:
[tex]\qquad \begin{align*}
f(n)&=n^4-2n^2-24\\
&=n^4-2n^2+1-25\\
&=\left(n^4-2n^2+1\right)-25\\
&=\left(n^2-1\right)^2-5^2\\
&=\left[\left(n^2-1\right)+5\right]\cdot \left[\left(n^2-1\right)-5\right]\\
&=\left(n^2+4\right)\cdot \left(n^2-6\right);
\end{align*}[/tex]
com isso, para que [tex]f(n)[/tex] seja um número primo, devemos ter [tex]n^2+4=\pm 1[/tex] ou [tex]n^2-6=\pm 1.[/tex]
Analisemos, então, os quatro casos.
- Se [tex]n^2+4=1[/tex], teríamos [tex]n^2=-3[/tex], o que não é possível visto que [tex]n^2 \geqslant 0.[/tex]
- Se [tex]n^2+4=-1[/tex], teríamos [tex]n^2=-5[/tex], o que também não é possível já que [tex]n^2 \geqslant 0.[/tex]
- Se [tex]n^2-6=1[/tex], teríamos [tex]n^2=7[/tex], o que não é possível, pois, mesmo tendo [tex]n^2=7 \gt 0[/tex], [tex]7 [/tex] não é um quadrado perfeito.
- Se [tex]n^2-6=-1[/tex], teríamos [tex]n^2=5[/tex], o que não é possível, porque, mesmo tendo [tex]n^2=5 \gt 0[/tex], [tex]5 [/tex] também não é um quadrado perfeito.
Portanto, podemos concluir que não existem números primos entre os valores assumidos por [tex]f[/tex].
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