.Problema para ajudar na escola: Uma sequência natural

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)

(Adaptado da Olimpiada Matemática Española-2000) Considere a sequência [tex]\left(a_1,a_2,a_3, \, \cdots, \, a_{2019}, \, \cdots\right) [/tex] de números naturais assim definida:
[tex]\qquad \begin{cases}
a_1=3\\
a_{n+1} = a_n + a_n^2, \text{ para } n \gt 1
\end{cases} \, \, \, \\
\, \, [/tex].
Determine os dois últimos algarismos do termo [tex]a_{2019}[/tex] dessa sequência.

Solução

Vamos inicialmente calcular os primeiros termos da sequência definida no problema:

• O primeiro termo já está explicitamente definido: [tex]\boxed{a_1=3}[/tex].

A partir da fórmula
[tex]\qquad a_{n+1} = a_n + a_n^2 \, [/tex], [tex] \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
vamos calcular alguns dos termos seguintes:

• Substituindo [tex]n=1[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos
  [tex]\qquad a_{1+1} = a_1 + a_1^2 [/tex]
  [tex]\qquad a_{2} = 3 + 3^2 [/tex]
  [tex]\qquad \boxed{a_{2}=12}. [/tex]
• Substituindo [tex]n=2[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos
  [tex]\qquad a_{2+1} = a_2 + a_2^2 [/tex]
  [tex]\qquad a_{3} = 12 + 12^2 [/tex]
  [tex]\qquad \boxed{a_{3}=156}. [/tex]
• Substituindo [tex]n=3[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos
  [tex]\qquad a_{3+1} = a_3 + a_3^2 [/tex]
  [tex]\qquad a_{4} = 156+ 156^2 [/tex]
  [tex]\qquad \boxed{a_{4}=24 \, 492}. [/tex]
• Substituindo [tex]n=4[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos
  [tex]\qquad a_{4+1} = a_4 + a_4^2 [/tex]
  [tex]\qquad a_{5} = 24492+ 24492^2 [/tex]
  [tex]\qquad \boxed{a_{5}=599 \, 882 \, 556}. [/tex]

Com esses cálculos iniciais, já podemos observar que:

• [tex]a_{2} = 3 + 3^2=3\cdot(1+3)=\boxed{3\cdot 4} [/tex]
• [tex]a_{3} = 12 + 12^2 =12\cdot (1+12)=\boxed{12\cdot 13}[/tex]
• [tex]a_{4} = 156+ 156^2=156\cdot (1+156)=\boxed{156 \cdot 157}[/tex]
• [tex]a_{5} = 24492+ 24492^2=24492\cdot (1+24492)=\boxed{24492\cdot 24493}[/tex]

ou seja,

• [tex]\boxed{a_{n+1}=a_n \cdot \left(a_n+1 \right)}.[/tex]

E essa observação procede, já que
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{n+1} = a_n + a_n^2=a_n\left(1+a_n\right)=a_n \cdot \left(a_n+1 \right)}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Analisando os primeiros resultados

• [tex]a_{2} = 12 [/tex]
• [tex]a_{3} = 1\textcolor{red}{56}[/tex]
• [tex]a_{4} = \boxed{156 \cdot 157}=24 \, 4\textcolor{blue}{92} [/tex]
• [tex]a_{5} =599 \, 882 \, 5\textcolor{red}{56}[/tex]

parece que, a partir do terceiro termo, está surgindo um padrão com relação aos dois últimos algarismos dos termos da sequência: se um termo da sequência termina em [tex]\textcolor{red}{56}[/tex], o termo seguinte termina em [tex]\textcolor{blue}{92}.[/tex]
Será que é isso mesmo?
– Vamos investigar!
(1) Suponhamos que um termo [tex]a_m[/tex] termine em [tex]\textcolor{red}{56}[/tex]. Assim, [tex]a_m[/tex] é da forma [tex]a_m= 100k+ \textcolor{red}{56}[/tex], para algum número natural [tex]k.[/tex]
Com isso, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], teremos que:
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = a_m \cdot \left(a_m+1 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = (100k+ \textcolor{red}{56}) \cdot \left( (100k+ \textcolor{red}{56})+1 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = (100k+ 56) \cdot \left( 100k+ 57 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 10000k^2+5700k+5600k+3192[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100\left(100k^2+57k+56k\right)+(3100+92)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100\left(100k^2+57k+56k+31\right)+\textcolor{blue}{92}.[/tex]
Se [tex]t=100k^2+57k+56k+31[/tex], então
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100t+\textcolor{blue}{92}[/tex], com [tex]t \in \mathbb{N}[/tex],
ou seja [tex]a_{m+1}[/tex] termina de fato em [tex]\textcolor{blue}{92}.[/tex]
(2) Suponhamos que um termo [tex]a_m[/tex] termine em [tex]\textcolor{blue}{92}[/tex]. Assim, [tex]a_m[/tex] é da forma [tex]a_m= 100k+ \textcolor{blue}{92}[/tex], para algum número natural [tex]k.[/tex]
Com isso, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], teremos que:
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = a_m \cdot \left(a_m+1 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = (100k+ \textcolor{blue}{92}) \cdot \left( (100k+ \textcolor{blue}{92})+1 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = (100k+ 92) \cdot \left( 100k+ 93 \right)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 10000k^2+9300k+9200k+8556[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100\left(100k^2+93k+92k\right)+(8500+56)[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100\left(100k^2+93k+92k+85\right)+\textcolor{red}{56}.[/tex]
Se [tex]t=100k^2+93k+92k+85[/tex], então
[tex]\qquad \qquad a_{m+1} = 100t+\textcolor{red}{56}[/tex], com [tex]t \in \mathbb{N}[/tex],
ou seja [tex]a_{m+1}[/tex] termina de fato em [tex]\textcolor{red}{56}.[/tex]
Podemos ir além…
Observe que, como
[tex]\qquad a_{3} = 1\textcolor{red}{56}[/tex], [tex]a_{4} = 24 \, 4\textcolor{blue}{92} [/tex], [tex]a_{5}=599 \, 882 \, 5\textcolor{red}{56}[/tex],
por (1) e (2), podemos concluir que

• termos da sequência com índices ímpares terminam em [tex]\textcolor{red}{56}[/tex]
• termos da sequência com índices pares terminam em [tex]\textcolor{blue}{92}.[/tex]

Portanto, como [tex]2019[/tex] é ímpar, os dois últimos algarismos do termo [tex]a_{2019}[/tex] são [tex]\textcolor{red}{56}.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.