Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
Seja [tex]f[/tex] uma função real definida para qualquer número real diferente de [tex] 0[/tex] e [tex]1[/tex] e que satisfaz as seguintes condições:
- [tex] f(1-x)=\dfrac{1}{f(x)} [/tex]
- [tex] f(\frac{1}{x})=\dfrac{1}{f(f(x))} [/tex]
- [tex] f(f(f(x)))=x [/tex].
(a) Determine [tex]a[/tex] tal que [tex]f(a)=0[/tex].
(b) Determine [tex]b[/tex] tal que [tex]f(b)=1[/tex].
(c) Determine [tex]f(2), \, f(-1), \, f(\frac{1}{2})[/tex].
Solução
Seja [tex]f[/tex] uma função real definida para qualquer número real diferente de [tex] 0[/tex] e [tex]1[/tex] e que satisfaz as seguintes condições:
[tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, f(1-x)=\dfrac{1}{f(x)} [/tex]
[tex] \textcolor{#800000}{(ii)} \, f(\frac{1}{x})=\dfrac{1}{f(f(x))} [/tex]
[tex] \textcolor{#800000}{(iii)} \, f(f(f(x)))=x.[/tex]
(a) Para resolver este item, observe que se [tex]m \, [/tex] e [tex] \, n[/tex] são números reais, então
[tex]\dfrac{m}{n}=0 \iff m=0 \textcolor{#FF00FF}{ \text{ e } } n\ne 0[/tex];
dessa forma, uma das condições necessárias para que um número escrito na forma [tex]\dfrac{m}{n}[/tex] seja [tex]0[/tex] é que [tex]m[/tex] seja [tex]0[/tex].
Portanto, como [tex]1\ne 0[/tex], o número [tex]\dfrac{1}{f(x)} \ne 0 [/tex], para todo número real [tex] x[/tex] para o qual a função está definida.
Dessa forma, não existe [tex]a[/tex] tal que [tex]f(a)=0.[/tex]
Uma outra forma de resolver este item é observar que, se existisse um número real [tex]a[/tex] tal que [tex]f(a)=0[/tex], pela condição [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], teríamos que:
[tex] \qquad f(f(f(a)))=a[/tex]
[tex] \qquad f(\textcolor{red}{f(0)})=a.[/tex]
e, portanto, para que esse número [tex]a[/tex] existisse, a função [tex]f[/tex] deveria estar definida para [tex]\textcolor{red}{x=0}[/tex], o que não ocorre.
(b) Seja [tex]b[/tex] um número real tal que [tex]f(b)=1[/tex]. Assim, pela condição [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex] \qquad f(f(f(b)))=b[/tex]
[tex] \qquad f(\textcolor{#00BFFF}{f(1)})=b.[/tex]
Com isso, observamos que para que o número [tex]b[/tex] exista, a função deve estar definida para [tex]\textcolor{#00BFFF}{x=1}[/tex], o que contraria uma das hipóteses de definição da função [tex]f.[/tex]
Portanto, não existe [tex]b[/tex] tal que [tex]f(b)=1.[/tex]
(c) Faremos o cálculo de cada imagem separadamente.
- Fazendo [tex]x=\dfrac{1}{2}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex] \qquad f\left(1-\frac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{2}\right)} [/tex]
[tex] \qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{2}\right)} [/tex]
[tex] \qquad \left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2=1 [/tex]
[tex] \qquad \sqrt{\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2}=\sqrt{1} [/tex]
[tex] \qquad \left|f\left(\frac{1}{2}\right) \right|=1 [/tex]
[tex] \qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=\pm 1.[/tex]
Por esses cálculos temos que [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=1 \, [/tex] ou [tex] \, f\left(\frac{1}{2}\right)=-1[/tex]; mas, pelo item (b), descartamos a possibilidade [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=1 \, [/tex].
Assim, [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$} \, .[/tex] - Agora, fazendo [tex]x=2[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos que:
[tex]\quad f(\frac{1}{2})=\dfrac{1}{f(f(2))}. \, [/tex]
[tex]\qquad -1=\dfrac{1}{f(f(2))}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{f(f(2))=-1} \, .[/tex]
Como de [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] segue que [tex]f(f(f(2)))=2[/tex], concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(-1)=2$} \, .[/tex] - Finalmente, fazendo [tex]x=2[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad f(1-2)=\dfrac{1}{f(2)}[/tex]
[tex]\qquad f(-1)=\dfrac{1}{f(2)}[/tex]
[tex]\qquad 2=\dfrac{1}{f(2)}[/tex]
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(2)=\frac{1}{2}$} \, .[/tex]
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