Uma atividade diferente
Na Sala “A Matemática dos CPF’s”, vocês acompanharam os cálculos para se obter os Dígitos Verificadores para o CPF número [tex]280.012.389–XY[/tex]. Vamos relembrar os procedimentos.
- Cálculo para o primeiro Dígito Verificador:
[tex]\begin{array}{cccccccccccccccccc}
&2&&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&20&&9&&8&&7&&6&&5&&4&&3&&2\\
\hline
&10&+&72&+&0&+&0&+&6&+&10&+&12&+&24&+&18&=\boxed{162}
\end{array}[/tex]
Como
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
162 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
\, \, \, 8
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, 14
\end{array}[/tex]
então, o primeiro dígito verificador é [tex]X = 11 – 8 = \textcolor{red}{3}.[/tex]
- Cálculo para o segundo Dígito Verificador:
[tex] \begin{array}{cccccccccccccccccc}
&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9&&3\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&10&&9&&8&&7&&6&&5&&4&&3&&2\\
\hline
&80&+&0&+&0&+&7&+&12&+&15&+&32&+&27&+&6&=\boxed{179}
\end{array}[/tex]
Como
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
179 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
\, \, \, 3
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, 16
\end{array}[/tex]
então, o segundo dígito verificador é [tex]Y = 11 – 3 = \textcolor{blue}{8}[/tex]
- Finalização: O CPF completo é [tex]280.012.389-\textcolor{red}{3}\textcolor{blue}{8}[/tex].
Mas e se os nove primeiros algarismos fossem ordenadamente multiplicados
pela sequência [tex]\boxed{1,2,3,4,5,6,7,8 \text{ e } 9}[/tex],
ao invés de pela sequência [tex]\boxed{10,9,8,7,6,5,4,3 \text{ e } 2}[/tex]?
Vejamos…
- No cálculo para o primeiro Dígito Verificador teríamos:
[tex]\;\begin{array}{cccccccccccccccccc}
&2&&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\
\hline
&2&+&16&+&0&+&0&+&5&+&12&+&21&+&64&+&81&=\boxed{201}
\end{array}[/tex]
Fazendo a divisão da soma obtida por [tex]11[/tex], teríamos:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
201 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
\, \, \, \textcolor{red}{3}
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, 18
\end{array}[/tex]
Epa, espere aí!
O primeiro dígito verificador da sequência
é o resto da divisão???
- Cálculo para o segundo Dígito Verificador:
[tex]\;\begin{array}{cccccccccccccccccc}
&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9&&3\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\
\hline
&8&+&0&+&0&+&4&+&10&+&18&+&56&+&72&+&27&=\boxed{195}
\end{array}[/tex]
Fazendo a divisão da segunda soma obtida por [tex]11[/tex], teríamos:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
195 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c}
\, \, \, \textcolor{blue}{8}
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, 17
\end{array}[/tex]
Epa, de novo!
O segundo dígito verificador da sequência
também é o resto da divisão…
Será que foi uma simples coincidência ou temos, de fato, um segundo algoritmo para calcular os dois dígitos verificadores, que satisfazem as condições definidas pela Receita Federal, de uma sequência de dígitos da forma ABC.DEF.GHI ?
Bom, vocês já devem ter adivinhado o que irão fazer nesta atividade, não é? Mas, mesmo assim, vamos formalizar a atividade.
ATIVIDADE 7
Considerem o seguinte algoritmo para o cálculo dos Dígitos Verificadores X e Y da sequência de dígitos ABC.DEF.GHI-XZ, conhecidos os nove dígitos iniciais:
- – se esse resto for [tex]10[/tex], o primeiro dígito verificador é zero [tex](X=0)[/tex]; caso contrário, [tex]X[/tex] é o próprio resto [tex](X=r_1).[/tex]
► O segundo Dígito Verificador ([tex]Y[/tex]) é calculado pela mesma regra, mas com uma diferença: os números a serem multiplicados pela sequência [tex]1,2,3,4,5,6,7,8[/tex] e [tex]9[/tex] são contados a partir do segundo algarismo, sendo [tex]X[/tex] o último algarismo. Se [tex]r_2[/tex] é o resto da divisão por [tex]11[/tex] das somas das multiplicações efetuadas, então:
- – o dígito [tex]Y[/tex] é zero, se [tex]r_2=10[/tex] e, caso contrário, [tex]Y=r_2[/tex].
Em símbolos:
- Primeiro Dígito Verificador ([tex]X[/tex])
[tex] \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\begin{array}{cccccccccccccccccc}
&A&&B&&C&&D&&E&&F&&G&&H&&I\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\
\hline
&A&+&2B&+&3C&+&4D&+&5E&+&6F&+&7G&+&8H&+&9I&=\boxed{S_1}
\end{array}\\
\, \, \,
[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(ii)}\\
\quad \begin{array}{c}
S_1 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\quad \begin{array}{c}
\, \, r_1
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, Q_1
\end{array}\\
\, \,
[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
[tex]\quad[/tex] Se [tex]r_1=10[/tex], então [tex]X=0[/tex]. Se [tex]r_1\ne 10[/tex], então [tex]X=r_1.[/tex]
- Segundo Dígito Verificador ([tex]Y[/tex])
[tex] \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\begin{array}{cccccccccccccccccc}
&B&&C&&D&&E&&F&&G&&H&&I&&X\\
&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times&&\times\\
&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\
\hline
&B&+&2C&+&3D&+&4E&+&5F&+&6G&+&7H&+&8I&+&9X&=\boxed{S_2}
\end{array}\\
\, \, \,
[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(ii)}\\
\quad \begin{array}{c}
S_2 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 11 \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\quad \begin{array}{c}
\, \, r_2
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, Q_2
\end{array}\\
\, \,
[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
[tex]\quad[/tex] Se [tex]r_2=10[/tex], então [tex]Y=0[/tex]. Se [tex]r_2\ne 10[/tex], então [tex]Y=r_2.[/tex]
(1) Definam sequências aleatórias ABC.DEF.GHI de nove dígitos e comparem os dígitos verificadores X e Y, que definem as respectivas sequências ABC.DEF.GHI-XY que satisfazem as condições impostas pela Receita Federal, fornecidos pelos dois algoritmos: o apresentado inicialmente e o definido nesta Sala. (Se necessário, utilizem a Maquineta 4 disponibilizada logo abaixo.)
(2) Com a ajuda de seus professores, tentem justificar matematicamente as conclusões obtidas a partir das observações feitas no item (1).
Maquineta para comparação dos algoritmos
 |
Com esta maquineta será possível comparar os dígitos verificadores fornecidos pelos dois algoritmos que apresentamos para qualquer sequência de nove dígitos. |
Maquineta 4
OBMEP_ srdg
A maquineta funciona adequadamente no Excel.
Observação:
Ao abrir o arquivo, observe se a planilha está no Modo de Exibição Protegido.
Em caso positivo, habilite a Edição antes de usar a Maquineta.
Equipe COM – OBMEP