Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Considere um número inteiro positivo de quatro algarismos que é um quadrado perfeito.
A partir desse número, constrói-se outro somando uma unidade ao seu algarismo das unidades, subtraindo uma unidade do algarismo das dezenas, somando uma unidade ao algarismo das centenas e subtraindo uma unidade do algarismo das unidades de milhar.
Se o número que se obtém também é um quadrado perfeito, encontrar o número original.
Quantos números satisfazem tais condições?
Lembretes
✐ Fatoração da diferença de dois quadrados:
[tex]\qquad \qquad \boxed{m^2-n^2=(m+n) \cdot (m-n)}[/tex], para todos [tex]m,n\in\mathbb{R}[/tex]
(Para aprender um pouco mais, clique AQUI.)
✐ Na solução deste problema será necessário saber determinar os divisores positivos de um dado número natural. Se precisar relembrar esse assunto, acesse esta Sala.
Solução
Seja [tex]\boxed{abcd=a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10+d} \, [/tex] o número inicial. Como esse número é um quadrado perfeito, existe um inteiro positivo [tex]m[/tex] tal que
- [tex]m^2=a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10+d.[/tex]
Pelas hipóteses do problema, o segundo número será
- [tex]n^2=(a-1)\cdot 10^3+(b+1)\cdot 10^2+(c-1)\cdot 10+(d+1).[/tex]
Assim, note que:
[tex]\;\begin{align*}m^2-n^2&=\left[a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10+d\right]\\
&\quad -\left[(a-1)\cdot 10^3+(b+1)\cdot 10^2+(c-1)\cdot 10+(d+1)\right] \\
&= 10^3-10^2+10-1\\
&=909\\&=3^2\cdot 101.\end{align*}[/tex]
Como [tex]m^2-n^2=3^2\cdot 101[/tex], o Lembrete nos assegura que
[tex]\qquad(m+n)\cdot(m-n)=3^2\cdot 101[/tex],
e note, desde já, que [tex]101[/tex] é um número primo.
Observe que [tex]m+n[/tex] é um número natural e [tex]m-n[/tex] é com certeza um inteiro, mas pode ser natural ou um inteiro negativo. Porém, como o produto [tex](m+n)\cdot(m-n)[/tex] resulta em um número natural (positivo), [tex]m-n[/tex] também deve ser positivo. Assim, [tex]m+n[/tex] e [tex]m-n[/tex] são divisores positivos de [tex]3^2\cdot 101[/tex].
Sabemos que os divisores positivos de [tex]3^2\cdot 101[/tex] são [tex]1 \, , \, 3 \, , \, 9 \, , \, 101 \, , \, 303 \, , \, 909[/tex]; mas como [tex]m+n\gt m-n[/tex], temos apenas três casos a serem considerados:
- [tex] \begin{cases}m+n = 909\\m-n = 1\end{cases} \, [/tex];
- [tex] \begin{cases}m+n = 303\\m-n = 3\end{cases} \, [/tex];
- [tex] \begin{cases}m+n = 101\\m-n = 9\end{cases} \, [/tex].
Nos dois primeiros casos, solucionando os respectivos sistemas obtemos [tex]m=455 [/tex] e [tex]m=153[/tex]. Mas, em ambos os casos, [tex]m^2[/tex] teria mais de quatro dígitos ([tex]207 \, 025[/tex] e [tex]23 \, 409[/tex] respectivamente). Já no terceiro sistema, obtemos [tex]m=55[/tex] e [tex]n=46[/tex] e esses valores são convenientes.
Portanto, o número inicial é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m^2=3025$} \, [/tex] e o segundo número é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n^2=2116$} \, [/tex]; e essa é única solução que satisfaz as condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.