Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Sejam [tex]\alpha \, [/tex] e [tex] \, \beta \, [/tex] ângulos agudos tais que:
- [tex]\sqrt{7}\left(tg \, \alpha\right)=5\left(tg \, \beta\right)[/tex]
- [tex]4\left(sen \, \alpha\right)=5\left(sen \, \beta\right).[/tex]
Determine a cossecante do ângulo [tex]\beta.[/tex]
Solução 1
Seja [tex]\theta[/tex] um ângulo agudo. Se você conhece as definições básicas da trigonometria, só vai precisar das seguintes definições
[tex]\qquad \qquad \boxed{cotg\,\theta= \dfrac{1}{tg\,\theta}}\qquad [/tex] [tex]\qquad \boxed{cossec\,\theta= \dfrac{1}{sen\,\theta}}[/tex]
e da seguinte identidade
[tex]\qquad \qquad \boxed{cossec^2\,\theta -1= cotg^2\,\theta}\qquad \qquad [/tex]
para resolver este problema.
Observe!
Como [tex]\alpha \, [/tex] e [tex] \, \beta \, [/tex] são ângulos agudos, das hipóteses [tex]\sqrt{7}\left(tg \, \alpha\right)=5\left(tg \, \beta\right) \, [/tex] e [tex] \, 4\left(sen \, \alpha\right)=5\left(sen \, \beta\right)[/tex], segue que:
[tex]\begin{array}{l|l}
\sqrt{7}\left(tg \, \alpha\right)=5\left(tg \, \beta\right)\quad & \quad 4\left(sen \, \alpha\right)=5\left(sen \, \beta\right)\\
\sqrt{7}\left(\dfrac{1}{tg \, \beta}\right)=5\left(\dfrac{1}{tg \, \alpha}\right)\quad &\quad 4 \left(\dfrac{1}{sen \, \beta}\right)=5\left(\dfrac{1}{sen \, \alpha}\right)\\
\sqrt{7}\left(cotg \, \beta\right)=5\left(cotg \, \alpha\right) \quad &\quad 4\left( cossec \, \beta\right) =5\left(cossec \, \alpha\right)\\
\left(\sqrt{7}\left(cotg \, \beta\right)\right)^2=\left(5\left(cotg \, \alpha\right)\right)^2 \quad &\quad \left(4\left( cossec \, \beta\right)\right)^2 =\left(5\left(cossec \, \alpha\right)\right)^2\\
7\left(cotg^2 \, \beta\right)=25\left(cotg^2 \, \alpha\right). \quad \textcolor{#800000}{(i)}\quad &\quad 16\left( cossec^2 \, \beta\right) =25\left(cossec^2 \, \alpha \right).\quad \textcolor{#800000}{(ii)}\\
\end{array}
[/tex]
Fazendo a diferença entre as igualdades [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 16\left(cossec^2 \, \beta\right)-7\left(cotg^2 \, \beta\right)=25\left(cossec^2 \, \alpha\right)-25\left(cotg^2 \, \alpha\right) [/tex]
[tex]\qquad 16\left(cossec^2 \, \beta\right)-7\left(cossec^2 \, \beta-1\right)=25\left(cossec^2 \, \alpha\right)-25\left(cossec^2 \, \alpha-1\right) [/tex]
[tex]\qquad 9\left(cossec^2 \, \beta\right)+7=25[/tex]
[tex]\qquad 9\left(cossec^2 \, \beta\right)=18[/tex]
[tex]\qquad cossec^2 \, \beta=2[/tex]
[tex]\qquad cossec \, \beta=\pm\sqrt{2}.[/tex]
Como [tex]\beta[/tex] é um ângulo agudo, [tex]cossec\, \beta \gt 0[/tex]; portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$cossec \, \beta=\sqrt{2}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja [tex]\theta[/tex] um ângulo agudo.
Se da trigonometria você conhece apenas senos e cossenos de ângulos agudos, não faz mal, pois tangentes e cossecantes são apenas “disfarces” de senos e cossenos.
Neste caso, para resolver o problema, você só precisará, obviamente, das definições de tangente e cossecante:
[tex]\qquad \qquad \boxed{tg\,\theta= \dfrac{sen \,\theta}{cos\,\theta}}\qquad [/tex] [tex]\qquad \boxed{cossec\,\theta= \dfrac{1}{sen\,\theta}}[/tex]
e da identidade fundamental da trigonometria:
[tex]\qquad \qquad \boxed{sen^2\,\theta +cos^2\,\theta=1} \, .[/tex]
Veja só!
Como [tex]\alpha \, [/tex] e [tex] \, \beta \, [/tex] ângulos agudos, das hipóteses [tex]\sqrt{7}\left(tg \, \alpha\right)=5\left(tg \, \beta\right)[/tex] e [tex]4\left(sen \, \alpha\right)=5\left(sen \, \beta\right)[/tex], segue que:
[tex]\begin{array}{l|l}
\sqrt{7}\left(tg \, \alpha\right)=5\left(tg \, \beta\right)\qquad & \qquad 4\left(sen \, \alpha\right)=5\left(sen \, \beta\right)\\
\sqrt{7}\left(\dfrac{sen \, \alpha}{cos \, \alpha}\right)=5\left(\dfrac{sen \, \beta}{cos \, \beta}\right)\qquad & \qquad \dfrac{sen \, \alpha}{sen \, \beta}=\dfrac{5}{4}\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\\
\dfrac{sen \, \alpha}{sen \, \beta}=\dfrac{5}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac{cos \, \alpha}{cos \, \beta}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\quad &\qquad sen^2 \, \alpha=\dfrac{25}{16} \cdot sen^2 \, \beta.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}\\
\end{array}
[/tex]
De [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \dfrac{5}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac{cos \, \alpha}{cos \, \beta}=\dfrac{5}{4}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{\cancel{5}}{\sqrt{7}}\cdot \dfrac{cos \, \alpha}{cos \, \beta}=\dfrac{\cancel{5}}{4}[/tex]
[tex]\qquad 4\left( cos \, \alpha \right)=\sqrt{7}\left(cos \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad \left(4\left( cos \, \alpha \right)\right)^2=\left(\sqrt{7}\left(cos \, \beta\right)\right)^2[/tex]
[tex]\qquad 16\left( cos^2 \, \alpha \right)=7\left(cos^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 16\left( 1-sen^2 \, \alpha \right)=7\left(1-sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 16-16\left(sen^2 \, \alpha \right)=7-7\left(sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=16\left(sen^2 \, \alpha \right).\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Finalmente, de [tex] \, \textcolor{#800000}{(iv)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=16\left(\dfrac{25}{16} \cdot sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=\cancel{16}\left(\dfrac{25}{\cancel{16}} \cdot sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 9+7\left(sen^2 \, \beta\right)=25\left(sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad 9=18\left(sen^2 \, \beta\right)[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{sen^2 \, \beta}=\dfrac{18}{9}[/tex]
[tex]\qquad cossec^2 \, \beta=2[/tex]
[tex]\qquad cossec \, \beta=\pm\sqrt{2}.[/tex]
Como [tex]\beta[/tex] é um ângulo agudo, [tex]cossec\, \beta \gt 0[/tex], já que [tex]sen\, \beta \gt 0[/tex] e [tex]cossec\,\beta = \dfrac{1}{sen\,\beta }[/tex]. Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$cossec \, \beta=\sqrt{2}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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