Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma exposição, foi montada uma fileira de oito aquários.
Nesses aquários serão distribuídos quatro exemplares de peixes de espécies diferentes e quatro exemplares de cavalos-marinhos de espécies diferentes, de modo que cada aquário fique com um único animal.
De quantas maneiras diferentes podem ser distribuídos os animais, se dois aquários consecutivos quaisquer não podem conter, ambos, cavalos-marinhos?
Ajuda
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- uma decisão D1 puder ser tomada de [tex] m_1 [/tex] maneiras distintas,
- uma decisão D2 puder ser tomada de [tex] m_2 [/tex] maneiras distintas,
- [tex]\cdots[/tex]
- uma decisão Dk puder ser tomada de [tex]m_k [/tex] maneiras distintas,
- e todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),
então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[/tex] decisões é igual ao produto
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k}\, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
Chamemos cada peixe de [tex]P[/tex] e cada cavalo marinho de [tex]C[/tex]. Deste modo, a disposição dos animais pode ser feita de cada uma das seguintes formas:
(1)[tex]\,\,\, P-C-P-C-P-C-P-C[/tex];
(2)[tex]\,\,\, C-P-C-P-C-P-C-P[/tex];
(3)[tex]\,\, \, C-P-P-C-P-C-P-C[/tex];
(4)[tex]\,\,\, C-P-C-P-P-C-P-C[/tex];
(5)[tex]\,\,\, C-P-C-P-C-P-P-C[/tex].
Como serão distribuídos quatro exemplares de peixes de espécies diferentes e quatro exemplares de cavalos-marinhos de espécies diferentes, para cada um desses casos existem [tex]4\times 3\times 2\times 1\times 4\times 3\times 2\times 1=576[/tex] distribuições diferentes.
Assim, no total, serão [tex]5\times576=2\ 880[/tex] maneiras diferentes de distribuir os animais.
Observação: Se você não entendeu a necessidade de multiplicarmos as cinco disposições apresentadas por [tex]576[/tex], observe que o enunciado informa que os quatro peixes e os quatro cavalos-marinhos são de espécies diferentes. Só para ilustrar, suponha que as espécies distintas de peixes sejam [tex]\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}[/tex] e as espécies distintas dos cavalos marinhos sejam [tex]\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}.[/tex] Assim, por exemplo, na primeira disposição poderíamos ter [tex]576[/tex] distribuições dos oito animais; veja algumas dessas [tex]576[/tex] distribuições:
- [tex] \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}[/tex];
- [tex] \textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{red}{C_1}[/tex];
- [tex] \textcolor{blue}{P_3} -\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{blue}{P_3} -\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{blue}{P_3} -\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{blue}{P_3} -\textcolor{#FF00FF}{C_4}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{red}{P_1}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{red}{C_1}[/tex];
- [tex] \textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}- \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{red}{C_1}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}- \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{blue}{C_3}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{red}{C_1}- \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}[/tex];
- [tex] \textcolor{#FF00FF}{P_4}-\textcolor{#FF00FF}{C_4}-\textcolor{#12AD2B}{P_2}-\textcolor{#12AD2B}{C_2}-\textcolor{blue}{P_3}-\textcolor{blue}{C_3}- \textcolor{red}{P_1}-\textcolor{red}{C_1}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão do problema o Clube Math Error.