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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)
Quantas soluções reais tem a equação [tex] \, |x – |2x +1 ||= 3 \, [/tex]?
Lembretes
(1) Definição: Se [tex]A[/tex] é um número real, chamamos de "módulo de [tex]A[/tex]" ou "valor absoluto de [tex]A[/tex]" o número real não negativo denotado por [tex]|A|[/tex] e assim definido:
[tex]|A|= \begin {cases}A,\text{ se } A\geqslant 0\\
-A,\text{ se } A\lt 0 \end{cases}.[/tex]
(2) Propriedade importante: Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] números reais, com [tex]B \gt 0[/tex].
Se [tex]|A|=B[/tex], então [tex]A=B[/tex] ou [tex]A=-B.[/tex]
Reciprocamente, se [tex]A=B[/tex] ou [tex]A=-B[/tex], então [tex]|A|=B[/tex].
Em símbolos:
[tex]\qquad \qquad |A|=B\quad \Rightarrow \quad [/tex] [tex]A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \, \, \, \, [/tex]
e
[tex]\qquad \qquad A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \quad\Rightarrow\quad[/tex][tex]|A|=B [/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \qquad |A|=B\quad \iff \quad [/tex] [tex]A=B \, \, [/tex] ou [tex] \, \, A=-B \, . [/tex]
Solução
Utilizando o Lembrete (2) , temos que:
[tex]\qquad |x – |2x +1 ||= 3 \, \, \Rightarrow \, \, \begin {cases}x – |2x +1 |=-3\\
\text{ou}\\
x – |2x +1 |=3 \end{cases} \,\, [/tex];
assim, temos duas novas equações modulares para resolver: a solução da equação original será a união das soluções dessas duas equações. Vamos lá!
- Equação 1: [tex]x -|2x+1|=-3[/tex]
- Equação 2: [tex]x – |2x +1 |=3[/tex]
Podemos reescrever a Equação 1 como [tex]|2x +1|=x+3[/tex] e é nessa forma que vamos resolvê-la.
Observe, inicialmente, que temos uma condição de existência para a igualdade [tex]|2x +1|=x+3[/tex], já que [tex]|2x +1|\geqslant 0[/tex]:
► [tex]x+3 \geqslant 0[/tex], ou seja, [tex]x \geqslant -3.[/tex]
Isso significa que, depois de efetuarmos os cálculos, devemos verificar se os valores encontrados satisfazem a condição de serem iguais a [tex]-3[/tex] ou maiores do que [tex]-3.[/tex]
Poderíamos resolver a equação [tex]|2x +1|=x+3[/tex] como uma equação modular, mas vamos pegar um caminho diferente, elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado. Acompanhem:
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[tex]\qquad \left(|2x +1|\right)^2=\left(x+3\right)^2[/tex] [tex]\qquad \left(2x +1\right)^2=x^2+6x+9[/tex] [tex]\qquad 4x^2+4x+1=x^2+6x+9[/tex] [tex]\qquad 3x^2-2x-8=0.[/tex] |
Assim, [tex]\qquad x=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+96}}{6}\\ \qquad x=\dfrac{2 \pm 10}{6}\,,[/tex] donde [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{2+10}{6}=2}\qquad[/tex] ou [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{2-10}{6}=\dfrac{-4}{ \, \, 3}}.[/tex] |
Sabemos que [tex]2 \gt -3 [/tex] e que [tex]\dfrac{-4}{ \, \, 3} \gt -3 [/tex]; assim, ambos os valores são, de fato, soluções da Equação 1 e, consequentemente, da equação inicial.
Podemos reescrever a Equação 2 como [tex]|2x +1|=x-3[/tex] e é nessa forma que vamos resolvê-la.
Observe que aqui temos também uma condição de existência para a igualdade em questão:
► [tex]x-3 \geqslant 0[/tex], ou seja, [tex]x \geqslant 3.[/tex]
Isso significa que devemos verificar se os valores que encontraremos satisfazem a condição de serem iguais a [tex]3[/tex] ou maiores do que [tex]3.[/tex]
Vamos resolver a equação [tex]|2x +1|=x-3[/tex] elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado. Vejam:
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[tex]\qquad \left(|2x +1|\right)^2=\left(x-3\right)^2[/tex] [tex]\qquad \left(2x +1\right)^2=x^2-6x+9[/tex] [tex]\qquad 4x^2+4x+1=x^2-6x+9[/tex] [tex]\qquad 3x^2+10x-8=0[/tex] |
e, assim, [tex]\qquad x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100+96}}{6}\\ \qquad x=\dfrac{-10 \pm 14}{6}\,,[/tex] donde [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{-10+14}{6}=\dfrac{2}{3}}\qquad[/tex] ou [tex]\qquad \boxed{x=\dfrac{-10-14}{6}=-4}.[/tex] |
Vejam que nenhum desses valores satisfaz a condição de existência da igualdade [tex]|2x +1|=x-3[/tex], já que [tex]\dfrac{2}{3}\lt 3[/tex] e [tex]-4 \lt 3.[/tex] Dessa forma, a Equação 2 não contribui com novas soluções para a equação original.
Pelo exposto, concluímos que a equação [tex] \, \boxed{|x-|2x+1||= 3} \, [/tex] tem apenas duas soluções reais: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{-4}{ \, \, 3}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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