Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio )
(ONEM 2009 – Adaptado) Sabemos que [tex]a\; ,\; b\; [/tex] e [tex]\; c\; [/tex] são números naturais distintos tais que [tex]\boxed{a\cdot b \cdot c=72}\; .[/tex]
Qual é o menor valor possível para a soma [tex]\boxed{a+b+c}[/tex] ?
Lembretes
Sejam [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] números reais positivos.
(1) Chamamos de Média Aritmética dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}}.[/tex]
(2) Chamamos de Média Geométrica dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
(3) Propriedade importante: [tex]\boxed{MA \geqslant MG}[/tex], ou seja,
[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
A igualdade só ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3=\cdots = a_n.[/tex]
(Para aprender um pouco mais sobre médias, clique AQUI)
Solução
Suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]a\; ,\; b\; [/tex] e [tex]\; c\; [/tex] são números naturais tais que [tex]\boxed{a\cdot b \cdot c=72}[/tex] , com [tex]a \lt b \lt c.[/tex]
Pela desigualdade apresentada no Lembrete (3) e sabendo que [tex]a\; ,\; b\; [/tex] e [tex]\; c\; [/tex] são números positivos, temos que:
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{a+b+c}{3}\gt \sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}}[/tex]
e, assim,
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{a+b+c}{3}\gt \sqrt[3]{72}}[/tex].
Como [tex] \sqrt[3]{72} \approx 4,16[/tex], segue que
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{a+b+c}{3}\gt \sqrt[3]{72} \gt 4}[/tex].
e, portanto, [tex]a+b+c \gt 12 .[/tex]
Mas observe que [tex]a\; ,\; b\; [/tex] e [tex]\; c\; [/tex] são números naturais e, assim, [tex]a+b+c[/tex] é também um número natural. Então podemos concluir que [tex]a+b+c \geqslant 13[/tex] .
Particularmente, se [tex]a=3,\; b=4[/tex] e [tex]\; c=6[/tex], então [tex]a+b+c=13[/tex]; portanto, o menor valor possível para a soma [tex]\boxed{a+b+c}[/tex] é, de fato, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$13$}.[/tex]
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