Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sete amigos jogam basquete todos os dias na quadra do condomínio onde moram. Para cada jogo, eles fazem um sorteio para montar dois times de três jogadores cada e o sétimo amigo fica como juiz da partida que será disputada.
Para um jogo entre esses sete amigos, quantos pares distintos de times oponentes é possível formar?
AJUDAS
✏ Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa maneira, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_n^r\,[/tex] e assim definida::
[tex]C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{, com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n[/tex].
✏ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para duas decisões:
Se uma decisão A pode ser tomada de [tex] m [/tex] maneiras distintas e, tomada essa decisão A, uma decisão B puder ser tomada de [tex] n [/tex] maneiras distintas, então a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decisões A e B é igual a [tex]~\boxed{ m \times n}\, . [/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
► Para formar o primeiro time, serão sorteados três entre os sete amigos e isso pode ser feito de [tex]C_7^3[/tex] modos distintos, onde [tex]C_7^3[/tex] indica uma combinação dos [tex]7[/tex] elementos tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex]: [tex]C_7^3=\binom{7}{3}=\dfrac{7!}{(7-3)! \, 3!}.[/tex]
► Escolhido o primeiro time, serão sorteados três entre os quatro amigos que restaram, para formar o segundo time. Isso pode ser feito de [tex]C_4^3[/tex] modos distintos (combinação de [tex]4[/tex] elementos tomados [tex]3[/tex] a [tex]3[/tex]): [tex]C_4^3=\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{(4-3)! \, 3!}.[/tex]
► O amigo que sobra será o juiz.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, esses dois sorteios podem ser feitos simultaneamente de
[tex]\qquad \qquad \binom{7}{3} \cdot \binom{4}{3} \cdot 1= \dfrac{7\cdot 6 \cdot 5}{3\cdot 2 \cdot 1}\cdot\dfrac{4}{1}=140[/tex] modos distintos.
► Porém, precisamos dividir por dois esse resultado, uma vez que um time [tex]A[/tex] jogar contra um time [tex]B[/tex] é o mesmo que o time [tex]B[/tex] jogar contra o time [tex]A[/tex].
Assim, é possível formar [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{140}{2}=70 \, $} \, [/tex] pares distintos de times oponentes para um joguinho entre os sete amigos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.