Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(UERJ 2010 – Adaptado) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente quatro dos nove sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro, com a condição de que não fossem utilizados dois sábados consecutivos.
Quantas são as possibilidades distintas de se atender às condições dessa reposição?
Sugestão
✐ Que tal, antes de resolver esse problemão, dar uma olhadinha em um problema um pouco mais simples?
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✐ Se você não se lembra do Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, talvez seja bom visitar ESTA SALA.
Solução
Vamos representar cada um dos nove sábados disponíveis para reposição, em sequência, por um elemento do conjunto
[tex]\qquad \qquad S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex].
Assim, para resolver o problema, vamos procurar subconjuntos do conjunto [tex]S[/tex] com quatro elementos que não sejam números consecutivos, já que as reposições não devem ser feitas em sábados consecutivos.
Para que não haja a necessidade de enumerar exaustivamente todos os conjuntos com a propriedade requerida, ao definir um subconjunto de [tex]S[/tex], iremos marcar com o sinal [tex]+[/tex] a posição dos elementos que farão parte do subconjunto e com o sinal [tex]-[/tex] a posição dos elementos que não farão parte. Assim:
[tex]\qquad \{1, 3, 6, 9\}[/tex] seria representado por [tex]+\, -\, +\, -\, -\, +\, -\, -\, +\, [/tex],
[tex]\qquad \{2, 4, 5, 7\}[/tex] seria representado por [tex]-\, +\, -\, +\, +\, -\, +\, -\, -\, [/tex] .
(Observe que, particularmente, o conjunto do primeiro exemplo representa uma possibilidade de escolha, mas o do segundo não, já que [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] são consecutivos.)
Para formar um subconjunto com quatro elementos, sem dois números consecutivos, devemos distribuir quatro sinais [tex]+[/tex] e cinco sinais [tex]-[/tex], sem que haja dois [tex]+[/tex] consecutivos.
Para fazer isso, colocamos os cinco sinais [tex]-[/tex] (o primeiro passo da escolha) e, em seguida, distribuímos os sinais [tex]+[/tex] nos seis espaços que ficaram definidos (representados abaixo pelos quadradinhos), com no máximo um sinal por espaço. Perceba que isso pode ser feito de [tex]C_{6,4}[/tex] maneiras diferentes.
[tex]\Box \, \, – \, \, \Box \, \, – \, \, \Box \, \, -\, \, \Box \, \, – \, \, \Box \, \, – \, \, \Box[/tex]
Assim, pelo Princípio Multiplicativo, o número de as possibilidades distintas atenderem às condições da reposição é dado por:
[tex]\qquad \qquad 1 \times C_{6,4}=\dfrac{6!}{(6-4)!\, 4!}=1\times 15=15.[/tex]
Logo, a resposta do problema é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15$}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.