Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(UERJ 2010) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente [tex]4[/tex] dos [tex]9[/tex] sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro, com a condição de que não fossem utilizados [tex]4[/tex] sábados consecutivos.
Quantas são as possibilidades distintas de se atender às condições dessa reposição?
Solução 1
Devemos escolher [tex]4[/tex] dentre os [tex]9[/tex] sábados disponíveis com a condição de que não sejam consecutivos. E isso pode ser feito de [tex]C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!5!}=126[/tex] formas.
Mas, destes casos, é necessário retirar aqueles nos quais há [tex]4[/tex] sábados consecutivos, ou seja,
[tex] SSSSNNNNN\;,\; NSSSSNNNN\;,\; NNSSSSNNN\\
\,\\
NNNSSSSNN\;,\; NNNNSSSSN\;,\; NNNNNSSSS[/tex],
onde [tex]S[/tex] significa “sim” – usou o sábado, e [tex]N[/tex] significa “não” – não usou o sábado.
Com isso, restam [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126-6=120$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Se você ainda não estudou combinações, não entendeu o que significa [tex]C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!5!}=126[/tex].
Fica mais trabalhoso, mas podemos utilizar somente o Princípio Fundamental da Contagem (Veja AQUI.) para resolver este problema.
Inicialmente poderíamos pensar que o cálculo das possibilidades de escolha dos sábados poderia ser feito da seguinte maneira:
- [tex]9[/tex] possibilidades de escolha para o primeiro sábado,
- [tex]8[/tex] para o segundo,
- [tex]7[/tex] para o terceiro e
- [tex]6[/tex] para o quarto sábado.
Assim, pelo PFC, há, então, [tex]9\times 8\times 7\times 6[/tex] possibilidades de escolha para os quatro sábados.
Bem, supondo que o primeiro sábado escolhido seja pintado no calendário de vermelho, o segundo de verde, o terceiro de azul e o quarto de rosa, esta seria uma possibilidade de escolha:
[tex]\qquad\qquad \color{red}{S}\color{black}{N}\color{blue}{S}\color{black}{N}\color{green}{S}\color{black}{N}\color{pink}{S}\color{black}{NN}[/tex]
e esta outra:
[tex]\qquad \qquad \color{red}{S}\color{black}{N}\color{green}{S}\color{black}{N}\color{pink}{S}\color{black}{N}\color{blue}{S}\color{black}{NN}[/tex]
Certo…? Errado!
Na verdade, estas duas escolhas são as mesmas (confira!) e isto indica que contamos casos demais.
– De fato, contamos cada escolha [tex]4\times 3\times 2\times1[/tex] vezes, pois esta é a quantidade de permutações das quatro cores. E permutar as cores não muda a escolha, certo?
Logo, podemos escolher [tex]4[/tex] dentre [tex]9[/tex] sábados de [tex]\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times1}=126[/tex] maneiras distintas.
Mas lembre-se de que é necessário retirar dessa relação aquelas escolhas nas quais há [tex]4[/tex] sábados consecutivos:
[tex] SSSSNNNNN\, , \, NSSSSNNNN\, , \, NNSSSSNNN\\
\,\\
NNNSSSSNN\, ,\, NNNNSSSSN\, ,\, NNNNNSSSS[/tex].
Com isso, restam [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126-6=120$} [/tex] escolhas que atendem às condições do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.