Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
Quantos números naturais menores do que [tex]2018[/tex] satisfazem simultaneamente às propriedades abaixo?
(1) São soma de dois números naturais não nulos consecutivos.
(2) São soma de cinco números naturais não nulos consecutivos.
Solução
(I) Vamos analisar o que podemos afirmar sobre a forma de um número natural que satisfaz às propriedades (1) e (2).
- Se [tex]x[/tex] é um número natural que satisfaz à propriedade (1), então existe um número natural não nulo [tex]n[/tex] tal que
[tex]\qquad x=n+(n+1)=2n+1 \, .[/tex]
Assim, [tex]\boxed{x=2n+1} \, [/tex], para [tex]n[/tex] um número natural tal que [tex]n \geqslant 1 \, . [/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{\rhd}[/tex] Com isso, temos que [tex]x[/tex] é um número ímpar tal que [tex]x\geqslant 3 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] - Se [tex]x[/tex] é um número natural que satisfaz à propriedade (2), então existe um número natural não nulo [tex]m[/tex] tal que
[tex]\qquad x=m+(m+1)+(m+2)+(m+3)+(m+4)=5m+10=5(m+2) \, .[/tex]
Logo, [tex]\boxed{x=5k} \, [/tex], para [tex]k[/tex] um número natural tal que [tex]k \geqslant 3 \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{\rhd}[/tex] Com isso, temos que [tex]x[/tex] é um múltiplo de [tex]5[/tex] tal que [tex]x\geqslant 15 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Dessa forma, se um número natural [tex]x[/tex] satisfaz simultaneamente às propriedades (1) e (2), por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex], temos que [tex]x[/tex] é um múltiplo ímpar de [tex]5[/tex] maior do que ou igual a [tex]15 \, [/tex]. Portanto, segue que:
[tex]\boxed{x=5(2t+1)} \, [/tex], com [tex]t \, [/tex] um número natural tal que [tex]t\geqslant 1 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
(II) Verificaremos agora que todo número natural [tex]x[/tex] da forma estipulada em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] satisfaz às propriedades (1) e (2).
Com efeito, se [tex]x=5(2t+1)[/tex] é um número natural, observe que:
- [tex]x=\dfrac{x-1}{2}+\left(\dfrac{x-1}{2}+1\right)[/tex]
e as parcelas da soma são números naturais não nulos consecutivos, pois [tex]x[/tex] é ímpar.
- [tex]x=\left(\dfrac{x}{5}-2\right) +\left(\dfrac{x}{5}-1\right) +\dfrac{x}{5}+\left(\dfrac{x}{5}+1\right)+\left(\dfrac{x}{5}+2\right)[/tex]
e as parcelas da soma são números naturais não nulos consecutivos, pois [tex]x[/tex] é ímpar.
Seja, então, [tex]x[/tex] um número natural menor do que [tex]2018[/tex] e que satisfaz simultaneamente às propriedades (1) e (2). Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex], existe um número natural [tex]t\geqslant 1 \, [/tex] tal que [tex]x=5(2t+1)\lt 2018[/tex], logo, segue que:
[tex]\qquad 5(2t+1)\lt 2018[/tex]
[tex]\qquad 10t+5 \lt 2018[/tex]
[tex]\qquad 10t \lt 2013[/tex]
[tex]\qquad t \lt 201,3 \, .[/tex]
Mas, [tex]t[/tex] é um número natural não nulo, logo [tex]\boxed{1 \leqslant t \leqslant 201} \, .[/tex]
Como cada valor de [tex]t[/tex] define um número [tex]x[/tex] que satisfaz às condições do problema, consequentemente, existem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$201$} \, [/tex] números naturais menores do que [tex]2018[/tex] que satisfazem simultaneamente às propriedades (1) e (2).
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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