.Problema para ajudar na escola: O número 600

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

(b) Quantos desses divisores são pares?

(c) Quantos são ímpares?

(d) Quantos são quadrados perfeitos?

Solução

$2^x\times3^y\times5^z$, com $x \in \{0,1,2, 3\}\,$, $\, y \in \{0,1\}\,$ e $\, z \in \{0,1,2\}$ .

Como temos quatro escolhas distintas para o expoente $x$, duas escolhas distintas para $y$ e três escolhas para $z$, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 4 \times 2 \times 3 = 24$}$ divisores naturais de $600.$
Veja o esqueminha dessa contagem:

$\begin{array}{c c c } \underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\ \text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z \end{array}.$

• Poderíamos também solucionar este item utilizando o resultado apresentado na Ajuda (2):
  Como a decomposição de $600$ em fatores primos é $600=2^3\times3\times5^2$, então $600$ tem
  $\qquad \qquad (3+1)\times (1+1)\times (2+1)=4\times 2 \times 3=24$
  divisores naturais.

(b) Para que um divisor natural de $600$ seja par, é necessário e suficiente que o fator $2$ esteja presente na sua decomposição em fatores primos.
Perceba que essa condição ocorre quando $x=1,2,3$; assim, neste caso, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 3 \times 2 \times 3 = 18$}$ divisores naturais pares de $600.$
Veja o esqueminha dessa contagem:

$\begin{array}{c c c } \underline{\text{ 3 escolhas }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\ \text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z \end{array}.$

(c) Para que um divisor natural de $600$ seja ímpar, é necessário e suficiente que o fator $2$ não esteja presente na sua decomposição em fatores primos.
Observe que essa condição só ocorre quando $x=0$; assim, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 1 \times 2 \times 3 = 6$}$ divisores naturais ímpares de $600.$
Veja o esqueminha dessa contagem:

$\begin{array}{c c c } \underline{\text{ 1 escolha }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\ \text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z \end{array}.$

• Poderíamos também conseguir esse número lembrando que o número de divisores naturais ímpares é igual ao número total de divisores naturais menos o número de divisores naturais pares, ou seja, $24 – 18 = 6.$

(d) Um número natural é quadrado perfeito se, e somente se, na sua decomposição em fatores primos só aparecem expoentes pares.
Desse modo, como $x \in \{0,1,2, 3\}$, $y \in \{0,1\}$ e $z \in \{0,1,2\}$, temos duas escolhas possíveis para $x$, uma para $y$ e duas para $z$. Logo, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 2 \times 1 \times 2 = 4$}$ divisores naturais de $600$ que são quadrados perfeitos.
Último esqueminha de contagem:

$\begin{array}{c c c } \underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 1 escolha }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}\\ \text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z \end{array}\, \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.