Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(a) Quantos divisores naturais possui o número [tex]600[/tex]?
(b) Quantos desses divisores são pares?
(c) Quantos são ímpares?
(d) Quantos são quadrados perfeitos?
Ajuda (1) – Princípio Fundamental da Contagem
Se
- uma escolha E1 puder ser feita de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- uma escolha E2 puder ser feita de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- uma escolha E3 puder ser feita de [tex]m_3[/tex] maneiras,
então a quantidade de maneiras em que as três escolhas ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m_1\times m_2 \times m_{3}}.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)
Ajuda (2) – Número de divisores
Se [tex]m[/tex] é um número natural não nulo cuja decomposição como produto de potências de primos é
[tex]\qquad m=p_1^{n_1}\times p_2^{n_2}\times p_3^{n_3}[/tex],
então o número de divisores naturais de [tex]m[/tex] é
[tex]\quad \quad (n_1+1)\times (n_2+1)\times (n_3+1)[/tex] .
(Se você não se lembra desse resultado, clique AQUI.)
Solução
(a) A decomposição de [tex]600[/tex] em fatores primos é [tex]600=2^3\times3\times5^2[/tex].
Assim, um divisor natural de [tex]600[/tex] é, necessariamente, um número da forma
[tex]2^x\times3^y\times5^z[/tex], com [tex]x \in \{0,1,2, 3\}\, [/tex], [tex]\, y \in \{0,1\}\, [/tex] e [tex]\, z \in \{0,1,2\}[/tex] .
Como temos quatro escolhas distintas para o expoente [tex]x[/tex], duas escolhas distintas para [tex]y[/tex] e três escolhas para [tex]z[/tex], o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 4 \times 2 \times 3 = 24$} [/tex] divisores naturais de [tex]600.[/tex]
Veja o esqueminha dessa contagem:
[tex]\begin{array}{c c c }
\underline{\text{ 4 escolhas }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\
\text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z
\end{array}.[/tex]
- Poderíamos também solucionar este item utilizando o resultado apresentado na Ajuda (2):
Como a decomposição de [tex]600[/tex] em fatores primos é [tex]600=2^3\times3\times5^2[/tex], então [tex]600[/tex] tem
[tex]\qquad \qquad (3+1)\times (1+1)\times (2+1)=4\times 2 \times 3=24[/tex]
divisores naturais.
(b) Para que um divisor natural de [tex]600[/tex] seja par, é necessário e suficiente que o fator [tex]2[/tex] esteja presente na sua decomposição em fatores primos.
Perceba que essa condição ocorre quando [tex]x=1,2,3[/tex]; assim, neste caso, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 3 \times 2 \times 3 = 18$} [/tex] divisores naturais pares de [tex]600.[/tex]
Veja o esqueminha dessa contagem:
[tex]\begin{array}{c c c }
\underline{\text{ 3 escolhas }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\
\text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z
\end{array}.[/tex]
(c) Para que um divisor natural de [tex]600[/tex] seja ímpar, é necessário e suficiente que o fator [tex]2[/tex] não esteja presente na sua decomposição em fatores primos.
Observe que essa condição só ocorre quando [tex]x=0[/tex]; assim, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 1 \times 2 \times 3 = 6$} [/tex] divisores naturais ímpares de [tex]600.[/tex]
Veja o esqueminha dessa contagem:
[tex]\begin{array}{c c c }
\underline{\text{ 1 escolha }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 3 escolhas }}\\
\text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z
\end{array}.[/tex]
- Poderíamos também conseguir esse número lembrando que o número de divisores naturais ímpares é igual ao número total de divisores naturais menos o número de divisores naturais pares, ou seja, [tex]24 – 18 = 6.[/tex]
(d) Um número natural é quadrado perfeito se, e somente se, na sua decomposição em fatores primos só aparecem expoentes pares.
Desse modo, como [tex]x \in \{0,1,2, 3\}[/tex], [tex]y \in \{0,1\}[/tex] e [tex]z \in \{0,1,2\}[/tex], temos duas escolhas possíveis para [tex]x[/tex], uma para [tex]y[/tex] e duas para [tex]z[/tex]. Logo, o Princípio Fundamental da Contagem nos garante que existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 2 \times 1 \times 2 = 4$} [/tex] divisores naturais de [tex]600[/tex] que são quadrados perfeitos.
Último esqueminha de contagem:
[tex]\begin{array}{c c c }
\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 1 escolha }}&\underline{\text{ 2 escolhas }}\\
\text{expoente } x& \text{ expoente } y& \text{ expoente } z
\end{array}\, \, .[/tex]
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