.Problema para ajudar na escola: Três números naturais complicados de se achar

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)

Solução

quanto menor(maior) o valor de [tex]z[/tex], maior(menor) o valor da expressão [tex]1+\dfrac{1}{z} \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

Sejam, então, [tex] a, b , c \, [/tex] números naturais, com [tex] 0 \lt a \leqslant b \leqslant c \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(1)} \, [/tex] Veja que, se tivéssemos números naturais [tex] a, b , c [/tex], com [tex] 3 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \, [/tex], por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], o maior valor que o produto

[tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{b}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)[/tex]

poderia assumir seria quando [tex]a = b = c = 3 \, [/tex], o que resultaria em

[tex]\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{64}{27} \, .[/tex]

Mas observe que [tex]\dfrac{64}{27} \lt 3 \, [/tex]; assim, não podemos ter [tex] 3 \leqslant a[/tex] e, com isso, para que a igualdade se verifique, devemos ter [tex]\boxed{a = 1}[/tex] ou [tex]\boxed{a = 2} \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(2)} \, [/tex]Vamos supor [tex]a = 2[/tex] e então temos [tex] \boxed{2= a \leqslant b \leqslant c} \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(2.1)} \, [/tex] Se [tex] 3 \leqslant b[/tex], a observação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], nos indica que o maior valor do produto

[tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{b}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)[/tex]

ocorre quando [tex]b = c = 3 \, [/tex] e esse valor é

[tex]\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{48}{18} \lt 3 \, .[/tex]

Assim, não podemos ter [tex] 3 \leqslant b[/tex] e, com isso, para que a igualdade se verifique, a única hipótese seria [tex]b= 2 \, [/tex], já que [tex] 2=a \leqslant b \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(2.2)} \, [/tex]Vamos, então, supor [tex]a=b=2 \, [/tex] e tentar encontrar valores para o número natural [tex]c \, .[/tex] Vejamos:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad \left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad \left(\dfrac{3}{4}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=1[/tex]
[tex]\qquad 3+\dfrac{3}{c}=4[/tex]
[tex]\qquad 3c+3=4c[/tex]
[tex]\qquad c=3 \, .[/tex]
Com isso temos uma primeira solução para o problema: [tex] \, \boxed{a=2 \, ;b=2 \, \, ; \, c=3} \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(3)} \, [/tex] Vamos supor [tex]a = 1[/tex] e agora temos [tex]\boxed{ 1= a \leqslant b \leqslant c} \, .[/tex]

[tex]\textcolor{#800000}{(3.1)} \, [/tex]Neste caso, se [tex] 5 \leqslant b[/tex], a observação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], nos indica que o maior valor do produto

[tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{b}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)[/tex]

ocorre quando [tex]b = c = 5 \, [/tex]:

[tex]\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{5}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{72}{25} \lt 3 \, .[/tex]

Assim, aqui não podemos ter [tex] 5 \leqslant b \, [/tex]. Logo, para que a igualdade se verifique, as únicas hipóteses seriam [tex]b=1, \, 2, \, 3, \, 4 \, [/tex] e devemos testá-las uma a uma para tentar encontrar um valor natural para [tex]c \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(3.2)} \, [/tex]Substituindo [tex]a=b=1 \, [/tex] na igualdade, segue que:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 4\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 4+\dfrac{4}{c}=3[/tex]
[tex]\qquad 4c+4=3c[/tex]
[tex]\qquad c=-4 \, [/tex],
mas [tex]-4[/tex] não é um número natural.

[tex]\textcolor{#800000}{(3.3)} \, [/tex]Substituindo [tex]a=1 \, [/tex] e [tex] \, b=2[/tex] na igualdade, teríamos:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot \dfrac{3}{2} \cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 1+\dfrac{1}{c}=1[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{c}=0 \, [/tex],
o que é impossível!
[tex]\textcolor{#800000}{(3.4)} \, [/tex]Substituindo agora [tex]a=1 \, [/tex] e [tex] \, b=3[/tex] na igualdade, vem que:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot \dfrac{4}{3} \cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 8 \cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=9[/tex]
[tex]\qquad 8+\dfrac{8}{c}=9[/tex]
[tex]\qquad 8c+8=9c \, [/tex],
[tex]\qquad c=8[/tex]
e obtemos mais uma solução para o problema:[tex] \, \boxed{a=1 \, ;b=3 \, \, ; \, c=8} \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(3.5)} \, [/tex]Substituindo [tex]a=1 \, [/tex] e [tex] \, b=4[/tex] na igualdade, vem que:
[tex]\qquad \left(1+\dfrac{1}{1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=3[/tex]
[tex]\qquad 5 \cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=6[/tex]
[tex]\qquad 5+\dfrac{5}{c}=6[/tex]
[tex]\qquad 5c+5=6c[/tex]
[tex]\qquad c=5 \, [/tex],
e conseguimos outra solução para o problema:[tex] \, \boxed{a=1 \, ;b=4 \, \, ; \, c=5} \, .[/tex]

Portanto, existem somente três soluções para o problema:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=2 \, ;b=2 \, ; \, c=3$} \, \, [/tex], [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=1 \, ;b=3 \, \, ; \, c=8$} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=1 \, ;b=4 \, \, ; \, c=5$}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.