.Problemão: Uma equação geométrica

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)


Sejam [tex]x_1, x_2, x_3[/tex] e [tex]x_4[/tex] as raízes complexas da equação [tex]16x^4+8x^3+4x^2+2x+1=0[/tex].
Determine o valor da soma [tex]|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|[/tex].

Solução


Observe que as parcelas do lado esquerdo da equação [tex]16x^4+8x^3+4x^2+2x+1=0[/tex] formam uma progressão geométrica de cinco termos, com razão [tex]2x[/tex]. Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma P. G. encontramos que
[tex]\qquad \qquad 16x^4+8x^3+4x^2+2x+1=\dfrac{32x^5-1}{2x-1}.[/tex]
Observando essa última igualdade podemos constatar que qualquer solução diferente de [tex]\frac{1}{2}[/tex] da equação [tex]32x^5-1=0[/tex] é também solução da equação original.
Por outro lado, perceba que
[tex]\qquad \qquad 32x^5-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}} \, [/tex];
assim, as soluções da equação [tex]32x^5-1=0[/tex] são as cinco raízes quintas de [tex] \dfrac{1}{32}[/tex] (ou ainda cada uma das cinco raízes da unidade multiplicada por [tex]\dfrac{1}{2}).[/tex]
Vamos, então, utilizar a fórmula de radiciação de Moivre para números complexos para encontrá-las (Se você não conhece as fórmulas de Moivre, clique AQUI.):

[tex]\qquad \qquad x_0=\dfrac{1}{2}[/tex];

[tex]\qquad \qquad x_1=\dfrac{1}{2}\left(\cos 72^{\circ}+i\, \text{sen} 72^{\circ} \right)\ne \dfrac{1}{2}[/tex];

[tex]\qquad \qquad x_2=\dfrac{1}{2}\left(\cos 144^{\circ}+i\, \text{sen} 144^{\circ} \right)\ne \dfrac{1}{2}[/tex];

[tex]\qquad \qquad x_3=\dfrac{1}{2}\left(\cos 216^{\circ}+i\, \text{sen} 216^{\circ} \right)\ne \dfrac{1}{2}[/tex];

[tex]\qquad \qquad x_4=\dfrac{1}{2}\left(\cos 288^{\circ}+i\, \text{sen} 288^{\circ} \right)\ne \dfrac{1}{2}[/tex].

Dessa forma, os números [tex]x_1, x_2, x_3[/tex] e [tex]x_4[/tex] acima definidos são as raízes complexas da equação [tex]16x^4+8x^3+4x^2+2x+1=0.[/tex]
Para finalizar, com a definição de módulo de um número complexo e lembrando que se [tex]a[/tex] é a medida em graus de um ângulo, então [tex]\cos^2 a+ \text{sen} ^2a=1[/tex], podemos calcular o módulo de cada uma dessas raízes:

[tex]\qquad \qquad |x_1|=\sqrt{\dfrac{1}{4} \cos^2 72^{\circ}+\dfrac{1}{4} \text{sen}^2 72^{\circ}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\cos^2 72^{\circ}+\text{sen}^2 72^{\circ}}=\dfrac{1}{2};[/tex]

[tex]\qquad \qquad |x_2|=\sqrt{\dfrac{1}{4} \cos^2 144^{\circ}+\dfrac{1}{4} \text{sen}^2 144^{\circ}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\cos^2 144^{\circ}+\text{sen}^2 144^{\circ}}=\dfrac{1}{2};[/tex]

[tex]\qquad \qquad |x_3|=\sqrt{\dfrac{1}{4} \cos^2 216^{\circ}+\dfrac{1}{4} \text{sen}^2 216^{\circ}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\cos^2 216^{\circ}+\text{sen}^2 216^{\circ}}=\dfrac{1}{2};[/tex]

[tex]\qquad \qquad |x_4|=\sqrt{\dfrac{1}{4} \cos^2 288^{\circ}+\dfrac{1}{4} \text{sen}^2 288^{\circ}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\cos^2 288^{\circ}+\text{sen}^2 288^{\circ}}=\dfrac{1}{2}.[/tex]

Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=2$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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