A linguagem matemática
Finalizando . . .
Na Matemática não pode haver ambiguidades, imprecisões ou possibilidade de interpretações dúbias; assim, ela dispõe de uma linguagem própria, precisa e rigorosa. No estudo de qualquer teoria matemática três elementos aparecem inevitavelmente:
definição; teorema; demonstração.
Os objetos com os quais a teoria trabalha são apresentados pelas definições; por meio dos teoremas são feitas declarações sobre o que é verdadeiro a respeito dos objetos definidos e as demonstrações são as provas irrefutáveis de que os teoremas são verdadeiros dentro daquela teoria. Vejamos então, sem muita formalidade, cada um desses elementos.
Como objetos matemáticos são abstratos, a existência deles se dá por meio de definições. Uma definição estabelece condições específicas para que um objeto seja o que ele é; assim, uma definição estabelece condições necessárias e suficientes para que um objeto receba um determinado nome.
Embora as propriedades particulares que caracterizam um objeto que tenha um determinado nome sejam condições necessárias e suficientes para que o objeto tenha aquele nome (nome [tex]\Leftrightarrow[/tex] propriedades), de modo geral, não utilizamos o "se, e somente se" em definições. É usual escrevermos, simplesmente,
- "Um objeto tal é dito N se tiver a propriedade [tex]P[/tex]"
para significar que:
- se o objeto tem a propriedade [tex]P[/tex], então ele chama N;
- se o objeto chama N, então ele tem a propriedade [tex]P[/tex].
Teorema é uma afirmação que pode ser provada (e, no desenvolvimento de uma teoria matemática, vai ser provada). De maneira geral, os teoremas são expressos por meio de afirmações do tipo "Se [tex]P[/tex], então [tex]Q[/tex]".
Quando um teorema é escrito na forma implicativa [tex]P \Rightarrow Q[/tex], a propriedade (ou sentença aberta) [tex]P[/tex] é dita a hipótese do teorema e, a propriedade (ou sentença aberta) [tex]Q[/tex], sua tese. É claro que a propriedade [tex]P[/tex] pode ser a conjugação de várias propriedades: [tex]P: P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] e [tex] \, \cdots \, [/tex] e [tex]P_n[/tex], com cada [tex]P_i[/tex] uma propriedade.
Dependendo de sua importância na teoria que está sendo apresentada, um teorema pode ter diferentes nomes:
➤ Lema: é um teorema utilizado para provar outro teorema mais importante que lhe sucede.
➤ Corolário: é um teorema obtido com uma prova rápida como consequência de outro teorema que lhe antecede.
➤ Proposição: é um teorema de importância secundária dentro da teoria que está sendo desenvolvida.
De maneira geral, uma demonstração é a prova matemática de que uma dada propriedade (sentença) [tex]T[/tex] é deduzida de uma outra propriedade (sentença) [tex]H[/tex]. Essa prova é feita por meio de uma cadeia de argumentações lógicas que utilizam definições, propriedades ou resultados já conhecidos. Nesse processo, [tex]H[/tex] é denominada hipótese e, [tex]T[/tex], tese.
Elaborar provas de teoremas não é uma atividade que efetivamente possa ser ensinada. A aprendizagem se dá normalmente por experiência: a princípio é interessante compreender e imitar provas existentes, com a expectativa de que isso ajude no processo de criação de provas originais.
Um cantinho para a História.
Uma breve história da Lógica | História da Ciência
Equipe COM – OBMEP
[1] Apostila01_logica_UFBA – Adriano Catai (Último acesso em 05/05/20)
[2] Fundamentos de Lógica Matemática – Alexandre L. M. Levada (Último acesso em 02/06/17)
[3] Licao4 – Marcos Eduardo Ribeiro do Valle Mesquita (Último acesso em 05/05/20)
[4] Lógica Elementar – João Carlos Vieira Sampaio (Último acesso em 05/05/20)
[5] DE MORAIS FILHO, D. C., Um Convite à Matemática. 1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
[6] DI GIACOMO, S. R., Lendo Matemática. Material didático – INMA/UFMS, 2010.