TFA – problemas

Teorema Fundamental da Aritmética

Problemas

Problema 1: O número [tex]2^4 \cdot 5[/tex] é divisível por 2?

Sim, já que 2 é um dos fatores na decomposição do número dado.

Problema 2: O número [tex]2^4\cdot 5[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]?

Não, já que a decomposição deste número não contém o número primo [tex]3[/tex].

Problema 3: O número [tex]2^4\cdot 5 [/tex] é divisível por 8?

Sim, já que [tex]8=2^3[/tex] e existem quatro fatores iguais a 2 na decomposição do número dado.

Problema 4: O número [tex]2^4\cdot 5 [/tex] é divisível por 25?

Não, já que [tex]25=5^2[/tex] e só existe um 5 na decomposição do número dado.

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Problema 5: O número número [tex]2^4\cdot 5 [/tex] é divisível por 10?

Sim, já que [tex]10=2\cdot5[/tex] e a decomposição do número dado contém ambos os números primos 2 e 5.

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Problema 6: O número [tex]A[/tex] não é divisível por 5. É possível que o número [tex]2A[/tex] seja divisível por 5?

Não, pois para que [tex]2A[/tex] seja divisível por 5 é necessário e suficiente que na decomposição do número [tex]2A[/tex]apareça o fator 5. Como esse fator não se encontra na fatoração do número [tex]2[/tex] nem na fatoração do número [tex]A[/tex] (afirmado pelo enunciado), podemos afirmar que [tex]2A[/tex] não é divisível por 5.

Problema 7: O número [tex]A[/tex] é par. É verdade que o número [tex]2A[/tex] tem que ser divisível por 4?

Inicialmente, lembramos que [tex]4=2^2[/tex]. A resposta ao problema é sim, pois observe que, se [tex]A[/tex] é par, então [tex]A = 2n[/tex], para algum número natural [tex]n[/tex].
Portanto, [tex]2A = 2\cdot 2n[/tex], ou seja, concluímos que há pelo menos dois fatores [tex]2[/tex] na decomposição do número [tex]2A[/tex].

Problema 8: O número [tex]3A[/tex] é divisível por 7. É verdade que o número [tex]A[/tex] tem que ser divisível por 7?

Sim, pois a decomposição de [tex]3A[/tex] contém 7, mas a decomposição de [tex]3[/tex] não.

Problema 9: O número [tex]21A[/tex] é divisível por 6. É verdade que [tex]A[/tex] tem que ser divisível por 6?

Não. Por exemplo, [tex]A[/tex] poderia ser igual a 2. Como [tex]6 = 2\cdot 3[/tex], então para que um número seja divisível por 6 é necessário que este tenha, em sua fatoração, os fatores 2 e 3. Como [tex]21 = 3\cdot 7[/tex], então podemos ter a certeza de que o número [tex]A[/tex] possui um fator 2 em sua decomposição, mas não é necessária a presença do fator [tex]3[/tex]. Portanto, não é preciso que A seja divisível por 6.

Problema 10: Encontre o menor número natural [tex]n[/tex] tal que [tex]n![/tex] é divisível por 990.

Como [tex]990=2\cdot3^2\cdot5\cdot11[/tex], para que [tex]n![/tex] seja divisível por 990, é necessário que em sua decomposição haja todos esses fatores.
Mas 11 é primo, logo ele mesmo tem que estar contido no produto.
Observe que 11! é divisível por 2, por [tex]3^2[/tex] e por 5.
Assim, [tex]n=11[/tex] é o menor valor possível, pois o fatorial de qualquer outro número menor que este não terá o fator 11 em sua decomposição.

Os próximos problemas são para vocês fazerem!

Problema 11: O número [tex]5A[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]. É verdade que [tex]A[/tex] tem que ser divisível por [tex]3[/tex]?

Problema 12: Encontre todos os números naturais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que [tex]x^2-y^2=31[/tex]. (Resposta: Apenas [tex]x=16[/tex] e [tex]y=15[/tex])

Problema 13: (OBM 2010 – F1N2) Qual das alternativas apresenta um divisor de [tex]3^5 \times 4^4 \times 5^3[/tex] ?
a) [tex]42\qquad [/tex] b) [tex]45 \qquad [/tex] c) [tex]52 \qquad [/tex] d) [tex]85 \qquad [/tex] e) [tex]105 \qquad [/tex](Resposta: b)

Equipe COM – OBMEP

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