Segredos do Triângulo de Pascal
Segredos 6 e 7
Observe a tabela, a seguir.
\hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} …
\mbox{Linha } \textcolor{red}{0} & 1\qquad \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{1} & 1+1=2\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{2} & 1+2+1=4 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{3} & 1+3+3+1=8 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{4} & 1+4+6+ 4+1=16 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{5} & 1+5+10+10+ 5+1=32 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{6} & 1+6+15+ 20 + 15+ 6+1=64 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{7} & 1+7+ 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1=128 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{8} & 1+8+28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 +1=256\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{9} &1+9 +36 + 84+ 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1=512\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{10} &1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024\\
\hline
\end{array}[/tex]
Escrevendo as somas obtidas como potências de [tex]2[/tex], obtemos a próxima tabela, que ilustra a propriedade.
\hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} …
\mbox{Linha } \textcolor{red}{0} & 1=2^{ \textcolor{red}{0}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{1} & 1+1=2^{ \textcolor{red}{1}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{2} & 1+2+1=2^{ \textcolor{red}{2}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{3} & 1+3+3+1=2^{ \textcolor{red}{3}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{4} & 1+4+6+ 4+1=2^{\textcolor{red}{4}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{5} & 1+5+10+10+ 5+1=2^{\textcolor{red}{5}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{6} & 1+6+15+ 20 + 15+ 6+1=2^{\textcolor{red}{6}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{7} & 1+7+ 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1=2^{\textcolor{red}{7}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{8} & 1+8+28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 +1=2^{\textcolor{red}{8}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{9} &1+9 +36 + 84+ 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1=2^{\textcolor{red}{9}} \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{10} &1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=2^{\textcolor{red}{10}} \\
\hline
\end{array}[/tex]
Como sabemos que linhas correspondentes nas duas representações do Triângulo de Pascal geram as mesmas sequências de números, podemos também visualizar esta propriedade usando a representação do Triângulo de Pascal na forma de um triângulo retângulo.
[tex]\begin{array}{|l|l|}
\hline
\mbox{ Linha }\textcolor{red}{0} & 1=2^{ \textcolor{red}{0}}\\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{1} & 1+1=2^{ \textcolor{red}{1}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{2} & 1+2+1=2^{ \textcolor{red}{2}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{3} & 1+3+3+1=2^{ \textcolor{red}{3}} \\
\mbox{ Linha }\textcolor{red}{4} & 1+4+6+ 4+1=2^{\textcolor{red}{4}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{5} & 1+5+10+10+ 5+1=2^{\textcolor{red}{5}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{6} & 1+6+15+ 20 + 15+ 6+1=2^{\textcolor{red}{6}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{7} & 1+7+ 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1=2^{\textcolor{red}{7}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{8} & 1+8+28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 +1=2^{\textcolor{red}{8}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{9} & 1+9 +36 + 84+ 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1=2^{\textcolor{red}{9}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{10} & 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=2^{\textcolor{red}{10}} \\
\hline
\end{array}[/tex]
Essa propriedade nos garante que a soma das entradas de cada linha do Triângulo de Pascal é uma potência de [tex]2[/tex], cujo expoente corresponde à linha em questão.
Segredo 6: A soma dos elementos de cada Linha [tex]n[/tex] do Triângulo de Pascal é igual a [tex]2^{n}[/tex]. (Este Segredo é conhecido como o Teorema das linhas do Triângulo de Pascal.)
Este é, de fato, um segredo bem escondido!
Apenas observando a tabela abaixo, é difícil de desvendá-lo….
\hline
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{0} ~~& 1& 11^\textcolor{red}{0}\\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{1} & 1\;1& 11^\textcolor{red}{1} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{2} & 1\;2\;1 & 11^\textcolor{red}{2} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{3} & 1\;3\;3\;1 &11^\textcolor{red}{3} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{4} & 1\;4\;6\;4\;1& 11^{\textcolor{red}{4}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{5} & 1\;5\;10\;10\;5\;1 & 11^{\textcolor{red}{5}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{6} & 1\;6\;15\;20\;15\;6\;1 & 11^{\textcolor{red}{6}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{7} & 1\;7\;21\;35\;35\;21\;7 \;1 & 11^{\textcolor{red}{7}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{8} & 1\;8\;28 \;56 \; 70 \; 56\; 28 \; 8 \;1 & 11^{\textcolor{red}{8}} \\
\mbox{ Linha } \textcolor{red}{9} & 1\;9 \;36 \; 84 \; 126 \; 126 \; 84 \; 36 \; 9 \; 1~~~& 11^{\textcolor{red}{9}} \\
\hline
\end{array}[/tex]
Mas, para cada linha do Triângulo de Pascal, basta tomar as entradas como sendo “dígitos” de uma representação decimal, conforme ilustramos a seguir, que as tais potências de [tex]11[/tex] se revelam.
\hline
1& 1=11^{ \textcolor{black}{0}}\\
1\;1& 1(10)^{1}+1(10)^{0}=11^{ \textcolor{black}{1}} \\
1\;2\;1 &1 (10)^{2} +2(10)^{1} 1(10)^{0}=11^{ \textcolor{black}{2}} \\
1\;3\;3\;1 & 1(10)^{3} +3(10)^{2} + 3(10)^{1} + 1(10)^{0}=11^{ \textcolor{black}{3}} \\
1\;4\;6\;4\;1& 1(10)^{4} + 4(10)^{3} + 6(10)^{2} + 4(10)^{1} + 1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{4}} \\
1\;5\;10\;10\;5\;1 & 1(10)^{5} + 5(10)^{4} + 10(10)^{3} + 10(10)^{2} + 5(10)^{1}+ 1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{5}} \\
1\;6\;15\;20\;15\;6\;1 & 1(10)^{6}+6(10)^{5}+15(10)^{4}+ 20(10)^{3} + 15(10)^{2}+ 6(10)^{1}+1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{6}} \\
1\;7\;21\;35\;35\;21\;7 \;1 & 1(10)^{7}+7(10)^{6}+ 21(10)^{5} + 35(10)^{4} + 35(10)^{3} + 21(10)^{2} + 7(10)^{1} + 1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{7}} \\
1\;8\;28 \;56 \; 70 \; 56\; 28 \; 8 \;1 & 1(10)^{8}+8(10)^{7}+28(10)^{6} + 56(10)^{5} + 70(10)^{4} + 56(10)^{3} + 28(10)^{2} + 8(10)^{1} + 1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{8}} \\
1\;9 \;36 \; 84 \; 126 \; 126 \; 84 \; 36 \; 9 \; 1~~~& 1(10)^{9}+9(10)^{8} +36(10)^{7} + 84(10)^{6}+ 126(10)^{5} + 126(10)^{4} + 84(10)^{3} + 36(10)^{2} + 9(10)^{1} + 1(10)^{0}=11^{\textcolor{black}{9}} \\
\hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_n \;\; a_{n-1} \;\; \cdots \;\; a_2 \;\; a_1 \;\; a_0[/tex].
Cada um destes elementos é o respectivo coeficiente da potência de [tex]10[/tex] na representação de [tex]11^n[/tex] no sistema decimal; isto é:
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#68a597}{11^n=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+ \cdots + a_210^2+a_110^1+a_010^0}[/tex].
Equipe COM – OBMEP