Segredo 17

Sejam [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] números naturais tais que [tex]1 \leq p \leq n[/tex].
Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados.
Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado na Matemática como uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos [tex]p[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]p[/tex] a [tex]p[/tex].
A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,p}[/tex] ou [tex]C_n^p\,[/tex] ou [tex]\dbinom{n}{p}[/tex] e assim definida:
[tex]\qquad \qquad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C_{n,p}=C_n^p=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!\, p!}\,.[/tex]
O número natural [tex]\dbinom{n}{p}[/tex] é também chamado de coeficiente binomial; é com essa notação que vamos trabalhar.

Lembrem-se de que [tex]0!=1[/tex] e observem que:
[tex]\qquad \dbinom{n}{0}= \dfrac{n!}{(n-0)!\, 0!} = \dfrac{n!}{n!} = 1\\
\qquad \dbinom{0}{0}=\dfrac{0!}{(0-0)!\, 0!} = \dfrac{0!}{0!}=\dfrac{1}{1}=1.[/tex]

Assim, podemos utilizar os números binomiais

[tex]\qquad \dbinom{1}{0}=\dbinom{2}{0}=\dbinom{3}{0}=\dbinom{4}{0}=1[/tex]
[tex]\qquad \dbinom{1}{1}=\dbinom{2}{2}=\dbinom{3}{3}=\dbinom{4}{4}=1[/tex]
[tex]\qquad \dbinom{2}{1}=\dfrac{2!}{(2-1)!\,1!}=2[/tex]
[tex]\qquad \dbinom{3}{1}=\dfrac{3!}{(3-1)!\,1!}=3[/tex]
[tex]\qquad \dbinom{3}{2}=\dfrac{3!}{(3-2)!\,2!}=3[/tex]
[tex] \qquad \dbinom{4}{1}=\dfrac{4!}{(4-1)!\,1!}=4[/tex]
[tex] \qquad \dbinom{4}{2}=\dfrac{4!}{(4-2)!\,2!}=6[/tex]
[tex] \qquad \dbinom{4}{3}=\dfrac{4!}{(4-3)!\,3!}=4[/tex]

para reescrever convenientemente o Triângulo de Pascal com cinco linhas; observem:

[tex]\textcolor{blue}{\dbinom{0}{0}\qquad \qquad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\qquad 1\\
\dbinom{1}{0} \dbinom{1}{1}\qquad \qquad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\qquad 1 \quad 1\\
\dbinom{2}{0} \dbinom{2}{1} \dbinom{2}{2}\qquad \qquad~~~~~~~~~~~~~~~~~~\qquad 1 \quad 2 \quad 1\\
\dbinom{3}{0} \dbinom{3}{1} \dbinom{3}{2}\dbinom{3}{3}\qquad \qquad~~~~~~~~~~\qquad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1\\
\dbinom{4}{0} \dbinom{4}{1} \dbinom{4}{2}\dbinom{4}{3}\dbinom{4}{4}\qquad \qquad \qquad~~1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1}\\
[/tex]

Mais do isso, gostaríamos de prosseguir com esse processo e ter certeza de que obtivemos uma representação do Triângulo de Pascal, com tantas linhas quanto seja necessário.

[tex]\textcolor{blue}{\dbinom{0}{0}\\
\dbinom{1}{0} \dbinom{1}{1}\\
\dbinom{2}{0} \dbinom{2}{1} \dbinom{2}{2}\\
\dbinom{3}{0} \dbinom{3}{1} \dbinom{3}{2}\dbinom{3}{3}\\
\dbinom{4}{0} \dbinom{4}{1} \dbinom{4}{2}\dbinom{4}{3}\dbinom{4}{4}\\
\qquad \qquad \vdots \\
\dbinom{n}{0} \dbinom{n}{1} \dbinom{n}{2}\dbinom{n}{3}\dbinom{n}{4} \quad \cdots \quad \dbinom{n}{n}}[/tex]

Bem, já temos certeza de que, nesse processo, o primeiro e o último elementos de qualquer linha são iguais a [tex]1[/tex], pois já sabemos que [tex]\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1[/tex], para todo número natural [tex]n[/tex].
Precisaríamos, portanto, estabelecer a correspondência entre os elementos centrais do Triângulo de Pascal que já conhecemos com a nova formação que estamos propondo.
Vamos mostrar matematicamente essa afirmação.
Sabemos que em um Triângulo de Pascal, na forma de triângulo retângulo, a partir da terceira linha, cada elemento central é a soma dos dois números que estão acima e à esquerda dele na linha anterior.

Simbolicamente, podemos visualizar essa afirmação relativa ao elemento central genérico [tex]\boxed{a_{k+1,\,t+1}}[/tex], conforme ilustra a imagem abaixo, e escrever que [tex]~~\boxed{a_{k+1,\,t+1}=a_{k,\,t}+a_{k,\,t+1}}[/tex].

Da maneira que estamos propondo a construção do Triângulo de Pascal, na forma de um triângulo retângulo, um elemento genérico que esteja na linha [tex]n[/tex] e na coluna [tex]p[/tex] será definido por [tex]\dbinom{n}{p}[/tex]; assim, temos que garantir que:
[tex]\qquad \boxed{\dbinom{k+1}{t+1}=\dbinom{k}{t}+\dbinom{k}{t+1}}[/tex].

Vamos lá!

• Sejam [tex]k\, [/tex] e [tex]\,t [/tex] números naturais tais que [tex]1\le t\le k[/tex].
  (Para efeito da definição do Triângulo de Pascal, bastaria que [tex]1\le t\lt k[/tex])
  Assim, segue que:

  [tex]\qquad \begin{split}
  \dbinom{k}{t}+\dbinom{k}{t+1} &= \dfrac{k!}{(k-t)! \, t!} + \dfrac{k!}{(k-(t+1))! \, (t+1)! }\\
  &=\dfrac{k!\, \textcolor{red}{(t+1)}}{(k-t)!\, \textcolor{red}{(t+1)}\, t!} + \dfrac{k!\, \textcolor{blue}{(k-t)}}{(t+1)!\, \textcolor{blue}{(k-t)}\, (k-t-1)!}\\
  &=\dfrac{k!\, (t+1)}{(k-t)!\, (t+1)!} + \dfrac{k!\, (k-t)}{(t+1)!\, (k-t)!}\\
  &=\dfrac{k!\, (t+1)}{ (t+1)! \, (k-t)!} + \dfrac{k!\, (k-t)}{(t+1)!\, (k-t)!}\\
  &=\dfrac{k!\, (t+1)+k!\, (k-t)}{(t+1)!\, (k-t)!}\\
  &=\dfrac{k!\, (t+1+k-t)}{(t+1)!\, (k-t)!}\\
  &=\dfrac{k!\, (k+1)}{(t+1)!\, (k-t)!}\\
  &=\dfrac{(k+1)!}{(k-t)!\, (t+1)!}\\
  &= \dbinom{k+1}{t+1}.
  \end{split}[/tex]

No estudo dos números binomiais, a igualdade [tex]\boxed{\dbinom{k+1}{t+1}=\dbinom{k}{t}+\dbinom{k}{t+1}}[/tex] é conhecida como Relação de Stifel.