Segredo 15

As potências de um binômio com expoentes naturais são bem conhecidas.
É com elas que vamos trabalhar para descobrir este segredo!
Inicialmente vale observar que:

• qualquer número real não nulo elevado a zero é definido como [tex]1[/tex],
• zero elevado a zero é uma potência não definida.

Assim, nos nossos exemplos, vamos supor que

[tex]\qquad a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais tais que [tex]a+b\ne 0[/tex] e [tex]n[/tex] é um número natural.
Particularmente, sabemos que:

[tex]\qquad (a+b)^0=1[/tex]
[tex]\qquad (a+b)^1=a^1+b^1[/tex]
[tex]\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex]\qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
[tex]\qquad (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex]
[tex]\qquad (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5[/tex];

observem o padrão:

[tex]\begin{array}{l| l l l l l l |l}
\mbox{Linha } \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{1}&&&&&&\,(a+b)^\textcolor{red}{0}= \textcolor{blue}{1}\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{1}& \textcolor{blue}{1}&&&&&\,(a+b)^\textcolor{red}{1}=\textcolor{blue}{1}a^1+\textcolor{blue}{1}b^1\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{1}& \textcolor{blue}{2}& \textcolor{blue}{1}&&&&\,(a+b)^\textcolor{red}{2}=\textcolor{blue}{1}a^2+\textcolor{blue}{2}ab+\textcolor{blue}{1}b^2 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{3} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{3}& \textcolor{blue}{3}& \textcolor{blue}{1}&&& \,(a+b)^\textcolor{red}{3}=\textcolor{blue}{1}a^3+\textcolor{blue}{3}a^2b+\textcolor{blue}{3}ab^2+\textcolor{blue}{1}b^3 \\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{4} & \textcolor{blue}{1}& \textcolor{blue}{4}& \textcolor{blue}{6}& \textcolor{blue}{4}& \textcolor{blue}{1}&& \,(a+b)^\textcolor{red}{4}=\textcolor{blue}{1}a^4+\textcolor{blue}{4}a^3b+\textcolor{blue}{6}a^2b^2+\textcolor{blue}{4}ab^3+\textcolor{blue}{1}b^4\\
\mbox{Linha } \textcolor{red}{5} & \textcolor{blue}{1}& \textcolor{blue}{5}& \textcolor{blue}{10}& \textcolor{blue}{10}& \textcolor{blue}{5}&\textcolor{blue}{1}~ &
\end{array}[/tex]

Então, segue que:

[tex]\qquad \left(a+b\right)^{\textcolor{red}{5}}=\textcolor{blue}{1}a^5+\textcolor{blue}{5}a^4b+\textcolor{blue}{10}a^3b^2+\textcolor{blue}{10}a^2b^3+\textcolor{blue}{5}ab^4+\textcolor{blue}{1}b^5[/tex]
[tex]\qquad \left(a+b\right)^{5}=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5[/tex].

Segredo 15: As entradas da Linha [tex]n[/tex] do Triângulo de Pascal representam os coeficientes da expansão binomial [tex]\left(a+b \right)^n[/tex], conhecida como Binômio de Newton.

Equipe COM – OBMEP