.Sala para leitura_024: Um pouco sobre congruência de triângulos

Um pouco sobre congruência de triângulos


Uma estoriazinha para começar…


  • A professora de José e de João deixou como tarefa a construção de um triângulo, a partir das seguintes instruções:
    • Construa um triângulo equilátero [tex]ABC[/tex] de lados com comprimento [tex]l[/tex].

    [tex]\qquad \qquad \stackrel{\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}}{l}[/tex]

    No dia seguinte, recebeu as respostas de José e de João e, muito feliz, comprovou que ambas estavam corretas!

  • Utilize o applet abaixo e comprove que, de fato, as respostas dos dois alunos estavam corretas.

Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para transladar os triângulos ou o segmento, clique sobre os pontos [tex]T_1[/tex], [tex]T_2[/tex] ou [tex]T_3[/tex] e, mantendo o mouse pressionado, movimente o respectivo objeto horizontal ou verticalmente.
3) Para rodar os triângulos ou o segmento, clique sobre os pontos [tex]R_1[/tex], [tex]R_2[/tex] ou [tex]R_3[/tex] e, mantendo o mouse pressionado, rode o respectivo objeto.
4) Utilize as setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo, para voltar à configuração inicial.

  • Afinal, os triângulos desenhados por José e por João são iguais?

O que são triângulos congruentes?


A estoriazinha acima mostra a necessidade de se precisar o que significa dois triângulos serem iguais. Intuitivamente, dois triângulos distintos são iguais se for possível mover um deles, sem deformá-lo, até fazê-lo coincidir com o outro. Matematicamente dois triângulos com essa característica são ditos congruentes e essa "igualdade" entre triângulos recebe o nome de congruência .
Vamos precisar o que são triângulos congruentes.

Definição:
Dois triângulos são ditos congruentes se existir uma correspondência entre os vértices de um e os do outro, de modo que
(i) ângulos internos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida);
(ii) lados correspondentes são congruentes (têm a mesma medida).

Na figura abaixo, os triângulos [tex]ABC[/tex] e [tex]DEF[/tex] com a seguinte correspondência entre vértices:

[tex]A\longleftrightarrow D~~~~~~~~~~[/tex] [tex]B\longleftrightarrow E~~~~~~~~~~~~[/tex] [tex]C\longleftrightarrow F[/tex]

são congruentes.

Para indicarmos que a correspondência [tex]ABC \longleftrightarrow DEF[/tex] é uma congruência e, consequentemente, os triângulos [tex]ABC[/tex] e [tex]DEF[/tex] são congruentes, escrevemos [tex]\triangle ABC \cong \triangle DEF.[/tex]
Essa notação é muito eficiente, pois a expressão [tex]\triangle ABC \cong \triangle DEF[/tex] nos dá seis informações:

Os ângulos [tex]\widehat{A}[/tex] e [tex]\widehat{D}[/tex] têm a mesma medida.
Os ângulos [tex]\widehat{B}[/tex] e [tex]\widehat{E}[/tex] têm a mesma medida.
Os ângulos [tex]\widehat{C}[/tex] e [tex]\widehat{F}[/tex] têm a mesma medida.
Os lados [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{DE}[/tex] têm o mesmo comprimento. ([tex]AB=DE[/tex])
Os lados [tex]\overline{BC}[/tex] e [tex]\overline{EF}[/tex] têm o mesmo comprimento. ([tex]BC=EF[/tex])
Os lados [tex]\overline{CA}[/tex] e [tex]\overline{FD}[/tex] têm o mesmo comprimento. ([tex]CA=FD[/tex])

Observem quantas informações importantes no estudo da geometria vocês conseguem obter sabendo que dois dados triângulos são congruentes. São três igualdades de medidas de ângulos e três igualdades de comprimentos de segmentos.

Se dependêssemos apenas da definição de congruência seria necessário termos em mãos doze medidas para verificarmos se dois dados triângulos são congruentes:
as medidas dos três ângulos internos do primeiro triângulo;
as medidas dos três lados do primeiro triângulo;
as medidas dos três ângulos internos do segundo triângulo;
as medidas dos três lados do segundo triângulo.
No entanto, existem propriedades com as quais é possível concluir que dois triângulos são congruentes, a partir de um número menor de medidas conhecidas do que as doze que a definição exige. Essas propriedades são conhecidas como casos (ou critérios) de congruência.

Casos de congruência de triângulos


As propriedades enunciadas a seguir apresentam condições mínimas que, se verificadas, nos permitem afirmar que dois triângulos são congruentes.

Caso A.L.A. (ângulo – lado – ângulo):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado compreendido por eles, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.A.L. (lado – ângulo – lado):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo por eles definido, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.L.L. (lado – lado – lado):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.A.Ao. (lado – ângulo – ângulo oposto):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então estes triângulos são congruentes.

Congruência de triângulos retângulos:
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então estes triângulos são congruentes.

Uma aplicação especial do caso L.A.L.


Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (têm a mesma medida).

Justificativa:


Seja [tex]ABC[/tex] um triângulo isósceles, tal que os segmentos [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] têm a mesma medida.
Vamos comparar o triângulo [tex]ABC[/tex] com ele mesmo, considerando a correspondência [tex]ABC\longleftrightarrow ACB[/tex], isto é,

[tex]B\longleftrightarrow C~~~~~~~~~~[/tex] [tex]A\longleftrightarrow A~~~~~~~~~~~~[/tex] [tex]C\longleftrightarrow B.[/tex]

Perceba que:

  • os segmentos [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] têm o mesmo comprimento;
  • os ângulos [tex]B\hat{A}C[/tex] e [tex]C\hat{A}B[/tex] têm a mesma medida;
  • os segmentos [tex]\overline{AC}[/tex] e [tex]\overline{AB}[/tex] têm o mesmo comprimento;

assim, pelo caso L.A.L, temos que [tex]\triangle ABC \cong \triangle ACB[/tex] e com isso, particularmente, os ângulos [tex]A\hat{B}C[/tex] e [tex]A\hat{C}B[/tex] têm a mesma medida.

Esperamos que você tire proveito da apresentação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matemática.



Equipe COM – OBMEP

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