.Sala para leitura_024: Um pouco sobre congruência de triângulos

Um pouco sobre congruência de triângulos

Uma estoriazinha para começar…

A professora de José e de João deixou como tarefa a construção de um triângulo, a partir das seguintes instruções:

Construa um triângulo equilátero $ABC$ de lados com comprimento $l$ .

$\qquad \qquad \stackrel{\underline{\qquad \qquad \quad \quad \qquad }}{l}$

No dia seguinte, recebeu as respostas de José e de João e, muito feliz, comprovou que ambas estavam corretas!

Utilize o applet abaixo e comprove que, de fato, as respostas dos dois alunos estavam corretas.

Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para transladar os triângulos ou o segmento, clique sobre os pontos $T_1$ , $T_2$ ou $T_3$ e, mantendo o mouse pressionado, movimente o respectivo objeto horizontal ou verticalmente.
3) Para rodar os triângulos ou o segmento, clique sobre os pontos $R_1$ , $R_2$ ou $R_3$ e, mantendo o mouse pressionado, rode o respectivo objeto.
4) Utilize as setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo, para voltar à configuração inicial.

Afinal, os triângulos desenhados por José e por João são iguais?

O que são triângulos congruentes?

A estoriazinha acima mostra a necessidade de se precisar o que significa dois triângulos serem iguais. Intuitivamente, dois triângulos distintos são iguais se for possível mover um deles, sem deformá-lo, até fazê-lo coincidir com o outro. Matematicamente dois triângulos com essa característica são ditos congruentes e essa "igualdade" entre triângulos recebe o nome de congruência .
Vamos precisar o que são triângulos congruentes.

Definição:
Dois triângulos são ditos congruentes se existir uma correspondência entre os vértices de um e os do outro, de modo que
(i) ângulos internos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida);
(ii) lados correspondentes são congruentes (têm a mesma medida).

Na figura abaixo, os triângulos $ABC$ e $DEF$ com a seguinte correspondência entre vértices:

$A\longleftrightarrow D\qquad \qquad$ $B\longleftrightarrow E\qquad \qquad$ $C\longleftrightarrow F$

são congruentes.

Para indicarmos que a correspondência $ABC \longleftrightarrow DEF$ é uma congruência e, consequentemente, os triângulos $ABC$ e $DEF$ são congruentes, escrevemos $\triangle ABC \cong \triangle DEF.$
Essa notação é muito eficiente, pois a expressão $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nos dá seis informações:

Os ângulos $\widehat{A}$ e $\widehat{D}$ têm a mesma medida.
Os ângulos $\widehat{B}$ e $\widehat{E}$ têm a mesma medida.
Os ângulos $\widehat{C}$ e $\widehat{F}$ têm a mesma medida.
Os lados $\overline{AB}$ e $\overline{DE}$ têm o mesmo comprimento. ( $AB=DE$ )
Os lados $\overline{BC}$ e $\overline{EF}$ têm o mesmo comprimento. ( $BC=EF$ )
Os lados $\overline{CA}$ e $\overline{FD}$ têm o mesmo comprimento. ( $CA=FD$ )

Observem quantas informações importantes no estudo da geometria vocês conseguem obter sabendo que dois dados triângulos são congruentes. São três igualdades de medidas de ângulos e três igualdades de comprimentos de segmentos.

Se dependêssemos apenas da definição de congruência seria necessário termos em mãos doze medidas para verificarmos se dois dados triângulos são congruentes:
– as medidas dos três ângulos internos do primeiro triângulo;
– as medidas dos três lados do primeiro triângulo;
– as medidas dos três ângulos internos do segundo triângulo;
– as medidas dos três lados do segundo triângulo.
No entanto, existem propriedades com as quais é possível concluir que dois triângulos são congruentes, a partir de um número menor de medidas conhecidas do que as doze que a definição exige. Essas propriedades são conhecidas como casos (ou critérios) de congruência.

Casos de congruência de triângulos

As propriedades enunciadas a seguir apresentam condições mínimas que, se verificadas, nos permitem afirmar que dois triângulos são congruentes.

Caso A.L.A. (ângulo – lado – ângulo):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado compreendido por eles, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.A.L. (lado – ângulo – lado):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo por eles definido, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.L.L. (lado – lado – lado):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então estes triângulos são congruentes.

Caso L.A.A_o. (lado – ângulo – ângulo oposto):
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então estes triângulos são congruentes.

Congruência de triângulos retângulos:
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então estes triângulos são congruentes.

Uma aplicação especial do caso L.A.L.

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (têm a mesma medida).

Justificativa:

Seja $ABC$ um triângulo isósceles, tal que os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ têm a mesma medida.
Vamos comparar o triângulo $ABC$ com ele mesmo, considerando a correspondência $ABC\longleftrightarrow ACB$ , isto é,

$B\longleftrightarrow C\qquad \qquad$ $A\longleftrightarrow A\qquad \qquad$ $C\longleftrightarrow B.$

Perceba que:

os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ têm o mesmo comprimento;
os ângulos $B\hat{A}C$ e $C\hat{A}B$ têm a mesma medida;
os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ têm o mesmo comprimento;

assim, pelo caso L.A.L, temos que $\triangle ABC \cong \triangle ACB$ e com isso, particularmente, os ângulos $A\hat{B}C$ e $A\hat{C}B$ têm a mesma medida.

Esperamos que você tire proveito da apresentação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matemática.

Equipe COM – OBMEP

Dezembro de 2017.