.Sala para leitura_020: Porcentagem

Porcentagem


A porcentagem, simbolizada por [tex]\%[/tex], é uma ferramenta muito utilizada quando nos referimos, principalmente, a atrativos comerciais.

Porcentagem 1

É um conceito muito importante, pois invade o comércio sob diversas formas e idiomas diferentes.

Porcentagem 2

A porcentagem sempre está presente expressando desconto ou aumento, quer seja para antecipar uma parcela de um financiamento ou mesmo para calcular a multa devida ao atraso de alguma prestação. Sem o conhecimento básico desse assunto, as pessoas podem cair em algumas “armadilhas”.

Imagine uma situação na qual um vendedor ofereça duas ofertas para que o cliente escolha, a saber:
[tex]\qquad \qquad 10\%[/tex] de desconto ou [tex](10\%)^2[/tex] de desconto.

Entendeu? O que você escolheria?
Pois é! É necessário ter um mínimo de conhecimento em porcentagem.

Pense um pouco e mais tarde voltaremos a essa pergunta.

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Porcentagem X Fração


A porcentagem apresenta estreitas ligações com a ideia de fração, já que porcentagem pode ser definida como uma razão na forma [tex]\dfrac{a}{100}[/tex], na qual [tex]a[/tex] é um número real. Essa razão é comumente escrita na forma [tex]a\%[/tex] (Leitura: [tex]a[/tex] por cento, isto é, “[tex]a [/tex] por cem”).
Particularmente, a fração [tex]\dfrac{1}{100}[/tex] (a centésima parte de um todo, ou seja, uma das cem partes nas quais um todo foi dividido) é denotada por [tex] 1\%[/tex] (um por cento, isto é, “um por cem”).

Porcentagem 3

Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#d4ccbe}{$1\%=\dfrac{1}{100}=0,01$}[/tex].

Nesta altura do campeonato, alguém pode estar se perguntando: mas qual é a vantagem de se utilizar porcentagem, já que podemos utilizar simplesmente frações?

Terminadas as eleições deste ano, foi divulgada a relação dos quatro vereadores eleitos mais votados de uma determinada região.
votos11111Observando que esses quatro vereadores não foram eleitos em um mesmo município, necessariamente, proporcionalmente qual foi o mais votado da região?
Talvez fosse mais fácil responder a essa pergunta se o resultado da votação fosse divulgado da maneira abaixo, não é?

Votos222

Tá certo que a mera apresentação de frações com o mesmo denominador já ajuda na comparação de razões; mas, mostrando por uma porcentagem o que uma dada fração representa em um grupo de 100 coisas, muitas vezes fica mais claro para quem não é da área da Matemática, pois o valor representativo comparativo dá uma boa noção de comparação. Veja, por exemplo, que [tex]15\%[/tex] de um grupo de [tex]100[/tex] alunos parece ser mais fácil de calcular que [tex]15\%[/tex] de um grupo de [tex]67[/tex] alunos. Quando falamos que uma quantidade representa [tex]50\%[/tex] de outra quantidade, já temos uma ideia de metade, posto que o todo é [tex]100\%[/tex]. Quando falamos que algo representa [tex]40\%[/tex] ou [tex]45\%[/tex], sabemos que é um pouco menos que a metade, e assim por diante. E como [tex]100\%=\dfrac{100}{100}=1[/tex], dizemos que [tex]100\%[/tex] é o “nosso todo”.
Matematicamente, a porcentagem pode ser representada de três maneiras diferentes: um número com o símbolo [tex]\%[/tex]; na forma de razão, com o denominador [tex]100[/tex]; ou como um número decimal. Assim:

[tex]~30\%[/tex] é o mesmo que [tex]\dfrac{30}{100}[/tex], ou [tex]0,30[/tex] na forma decimal;
[tex]120\%[/tex] é o mesmo que [tex]\dfrac{120}{100}[/tex], ou [tex]1,20[/tex] na forma decimal;
[tex]200\%[/tex] é o mesmo que [tex]\dfrac{200}{100}[/tex], ou [tex]2,00[/tex] na forma decimal;
[tex]~20\%[/tex] é o mesmo que [tex]\dfrac{20}{100}[/tex], ou [tex]0,20[/tex] na forma decimal;
[tex]~~~2\%[/tex] é o mesmo que [tex]\dfrac{2}{100}[/tex], ou [tex]0,02[/tex] na forma decimal;

mas, dependendo do contexto, a porcentagem escrita na forma de razão é chamada de taxa percentual.
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Porcentagem X Regra de três


Saber efetuar cálculos de porcentagem é fundamental, uma vez que, de promoções a financiamentos, diariamente nos deparamos com situações que requerem utilização de porcentagem. Muitas dessas situações podem ser resolvidas a partir de três “situações básicas”, cujas respectivas soluções envolvem tão somente uma regra de três simples:
[tex](i)[/tex] conhecemos o valor total (o que corresponde a [tex]100\%[/tex]) e queremos o valor correspondente a uma porcentagem desse total;
[tex](ii)[/tex] conhecemos o valor correspondente a uma porcentagem do total e queremos esse valor total (o que corresponde a [tex]100\%[/tex]);
[tex](iii)[/tex] conhecemos, respectivamente, os valores correspondentes ao todo e a uma porcentagem desse todo e queremos a porcentagem ([tex]p\%[/tex]).

Cliquem no botão abaixo e vejam exemplos
que ilustram como utilizar Regra de três nessas situações.

Os próximos exemplos ilustrarão como utilizar regra de três nas situações [tex](i)[/tex], [tex](ii)[/tex] e [tex](iii)[/tex].

Exemplo 1: Em uma promoção, uma camiseta que custa [tex]60[/tex] reais está sendo vendida com [tex]12\%[/tex] de desconto. Se eu aproveitar a oferta, de quantos reais será a economia que farei?

Resolução:
Deparamo-nos com a situação [tex](i)[/tex], já que nos é dado o todo, [tex]60[/tex] reais, e desse todo queremos uma porcentagem, [tex]12\%[/tex].
De outra forma, se [tex]R\$~60[/tex] correspondem a [tex]100\%[/tex], quantos reais corresponderão a [tex]12\%[/tex]?
Se denotarmos tal quantidade de reais por [tex]r[/tex], esquematicamente teremos:

[tex]60[/tex] reais ————————————– [tex]100\%[/tex]
[tex]r[/tex] reais ————————————– [tex]12\%[/tex]

“Armando” a nossa regra de três simples, temos que [tex]60\times 12= r \times 100[/tex].
Fazendo as contas:
[tex]\qquad \qquad r=\dfrac{60\times 12}{100}=7,2[/tex].
Assim, se eu aproveitar a oferta, farei uma economia de [tex]R\$~7,20[/tex] na compra de uma camiseta!

Observação: Se vocês não sabem “Regra de três”, não faz mal; basta raciocinar assim:

Se a
[tex]\qquad 100\%[/tex] corresponde [tex]60[/tex] reais,
então a
[tex]\qquad 1\%[/tex] corresponderá [tex]\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}[/tex] reais.
Assim, a
[tex]\qquad 12\%[/tex] corresponderá [tex]12 \times 1\%[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad 12 \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{36}{5}=7,2[/tex] reais.
regra2

Exemplo 2: Devido ao mau tempo, a empresa de aviação “Voa Alto” precisou cancelar um de seus voos. Até este momento, a empresa já conseguir acomodar [tex]322[/tex] passageiros, o que corresponde a [tex]92\%[/tex] dos passageiros desse voo. Assim, qual o total de passageiros do voo cancelado?

Resolução:
Aqui temos a situação [tex](ii)[/tex], uma vez que sabemos que [tex]92\%[/tex] de um total correspondem a [tex]322[/tex] passageiros e queremos calcular o total de passageiros. Assim, como [tex]322[/tex] passageiros correspondem a [tex]92\%[/tex], quantos passageiros corresponderão a [tex]100\%[/tex]? Se denotarmos tal quantidade de passageiros por [tex]n[/tex], esquematicamente teremos:

[tex]322[/tex] passageiros ————————————– [tex]92\%[/tex]
[tex]n[/tex] passageiros ————————————– [tex]100\%[/tex]

“Armando” essa segunda regra de três simples, teremos que [tex]322\times 100= n \times 92[/tex].
Fazendo as contas:
[tex]\qquad \qquad n=\dfrac{322\times 100}{92}=350[/tex],
e, assim, o total de passageiros do voo cancelado pela empresa “Voa alto” é [tex]350[/tex].

Observação: Para resolver o problema sem a utilização de “Regra de três”, basta raciocinar assim:

Se a
[tex]\qquad 92\%[/tex] corresponde [tex]322[/tex] passageiros,
então a
[tex]\qquad 1\%[/tex] corresponderá [tex]\dfrac{322}{92}[/tex] passageiros.
Logo, a
[tex]\qquad 100\%[/tex] corresponderá [tex]100\times 1\%[/tex],
ou seja,
[tex]\quad 100 \times \dfrac{322}{92}=\dfrac{32200}{92}=350[/tex] passageiros.
regra3

Exemplo 3: Na partida inaugural do estádio de um time de futebol compareceram [tex]36.080[/tex] torcedores. Se a capacidade total do novo estádio é de [tex]41.000[/tex] torcedores, qual foi a porcentagem de ocupação do estádio nessa partida?

Resolução:
Neste caso, temos a situação [tex](iii)[/tex], já que conhecemos a capacidade total do estádio, [tex]41.000[/tex] torcedores, sabemos que o número de torcedores que assistiram à partida inaugural foi de [tex]36.080[/tex] e queremos a porcentagem de ocupação do estádio nesse dia. Se denotarmos esse percentual por [tex] p\%[/tex], teremos que:

[tex]41.000[/tex] torcedores ————————————– [tex]100\%[/tex]
[tex]36.080[/tex] torcedores ————————————– [tex]p\%[/tex]

Assim, teremos que [tex]36080\times 100= p \times 41000[/tex], donde:

[tex]\qquad \qquad p=\dfrac{36080\times 100}{41000}=\dfrac{3608}{41}=88[/tex].

Como [tex]p=88[/tex], a porcentagem [tex]p\%[/tex] de ocupação do estádio na partida inaugural foi de [tex]88\%[/tex].

Lembrando que [tex]100\%[/tex] é o todo, poderíamos pensar que estamos interessados em saber quanto [tex]36.080[/tex] representa do todo:

[tex]41.000[/tex] torcedores ————————————– [tex]1[/tex]
[tex]36.080[/tex] torcedores ————————————– [tex]r[/tex]

e então, [tex]41000~r=36080[/tex], donde:

[tex]\qquad \qquad r=\dfrac{36080}{41000}=\dfrac{3608}{4100}=0,88=\dfrac{88}{100}=88\%[/tex].

Observação: Para resolver o problema sem a utilização de “Regra de três”, basta lembrar a definição de porcentagem:

Percebam que os [tex]41.000[/tex] torcedores correspondem a [tex]100\%[/tex], assim queremos saber “quantos por cento” [tex]36.080[/tex] representa de [tex]41.000[/tex] e, portanto, basta encontrar uma fração com denominador [tex]100[/tex] que seja equivalente à [tex]\dfrac{36080}{41000}:[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{3608}{4100}= 0,88=\dfrac{88}{100}=88\%[/tex]

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Alguns cálculos e dicas


Uma primeira situação prática de aplicação de porcentagem.

Digamos que um picolé industrializado é comprado em uma distribuidora por [tex]R\$\ 0,50[/tex].

Se cada picolé for revendido por [tex]R\$\ 1,00[/tex], observa-se, claramente, um aumento de [tex]100\%[/tex] no preço original, pois o valor dobrou.

Considere que esse mesmo picolé seja vendido por [tex]R\$\ 2,00[/tex].
Parece inacreditável que está embutido um aumento de [tex]300\%[/tex] nessa venda.

Um exemplo bastante interessante.

Uma loja vende capas para celular no atacado e no varejo.
Considere que cada capa no atacado é vendida por [tex]R\$\ 4,00[/tex] e, no varejo, por [tex]R\$\ 10,00[/tex].

Como faríamos para determinar o desconto proporcionado na compra no atacado?

Nosso valor de referência é [tex]R\$\ 10,00[/tex], uma vez que queremos saber o desconto em relação à compra feita no varejo. O desconto de [tex]R\$\ 6,00[/tex], por unidade, equivale a [tex]\dfrac{6}{10}=60\%[/tex].

Como faríamos para determinar o percentual de aumento no preço unitário na compra feita no varejo?

Nesse caso, nosso valor de referência é [tex]R\$\ 4,00[/tex], pois agora queremos o aumento em relação à compra no atacado. O aumento é de [tex]R\$\ 6,00[/tex] por peça, ou seja, em relação ao valor de [tex]R\$\ 4,00[/tex], há um aumento de [tex]\dfrac{6}{4}=150\%[/tex].

Observem que foi de fundamental importância saber o valor de referência para se efetuar o cálculo correto da porcentagem!

Podemos explorar um pouco mais situações como a do exemplo anterior e lembrar que:

Para saber o preço final de um produto, após um aumento de [tex]40\%[/tex], basta multiplicar o preço atual por [tex]1,4[/tex]. Assim, por exemplo, um objeto que custa [tex]R\$\ 100,00[/tex]; quando aumentamos [tex]40\%[/tex] o valor desse objeto, o mesmo passará a custar [tex]1,4[/tex] vezes o valor original, ou seja, [tex]R\$\ 140,00[/tex].

Analogamente, ao darmos um desconto de [tex]40\%[/tex], o valor do objeto deve ser multiplicado por [tex](1-0,4)=0,6[/tex], ou seja, passará a ser [tex]0,6.100=60[/tex] reais.

E nas situações onde estão envolvidos aumentos e descontos?
Será que a ordem na qual as operações são feitas influenciará o resultado final?
Vamos ver…

Um computador que custa [tex]R\$\ 1\ 000,00[/tex] passa por um desconto de [tex]20\%[/tex] nesse tempo de crise e vendas baixas. Algum tempo depois, o mesmo passa por um aumento de [tex]10\%[/tex]. Se a ordem dos procedimentos fosse invertida, qual seria o valor da diferença entre os valores encontrados?
No primeiro caso, o valor de [tex]R\$\ 1\ 000,00[/tex] sofreu um desconto de [tex]20\%[/tex] e ficará [tex]0,8 \cdot 1\ 000= 800[/tex] reais. Após um aumento de [tex]10\%[/tex], passará a valer [tex]1,1 \cdot 800=880[/tex] reais.
No segundo caso, o valor de [tex]R\$\ 1\ 000,00[/tex] sofreu um aumento de [tex]10\%[/tex] e ficará [tex]1,1 \cdot 1\ 000=1\ 100[/tex]. Após um desconto de [tex]20\%[/tex], passará a valer [tex]0,8 \cdot 1\ 100=880[/tex].
Outra forma mais prática de mostrar que o valor não se altera, seria fazer:
[tex]\qquad \qquad 1\ 000 \cdot 0,8 \cdot 1,1=1\ 000 \cdot 1,1 \cdot 0,8=880[/tex].

Você sabe como calcular porcentagem usando a calculadora?

Em uma calculadora, podemos trabalhar com números decimais ou usar a tecla com o símbolo de [tex]\%[/tex] para calcular porcentagens.
Quer ver um exemplo?
Vamos, então, calcular [tex]20\%[/tex] de [tex]R\$\ 400,00[/tex].
utilizando a calculadora padrão do Windows:
[tex](1^\circ)[/tex] Ligue a calculadora (ON) e digite [tex]20[/tex].
[tex](2^\circ)[/tex] Pressione o sinal de multiplicação [tex](X\ ou\ *)[/tex].
[tex](3^\circ)[/tex] Digite [tex]400[/tex] e pressione a tecla [tex]\%[/tex].
Na maioria das calculadoras científicas, o procedimento é:
[tex](1^\circ)[/tex] Ligue a calculadora (ON), digite [tex]20[/tex].
[tex](2^\circ)[/tex] Aperte no sinal de multiplicação [tex](X\ ou\ *)[/tex].
[tex](3^\circ)[/tex] Digite [tex]400[/tex], pressione a tecla [tex]2ndF(shift)[/tex], pressione a tecla [tex]\%[/tex].
[tex](4^\circ)[/tex] Pressione a tecla do sinal de igualdade [tex]=[/tex].

Exercitem com outros valores!

Voltando à pergunta do início, o que você pensou?
É preferível [tex]10\%[/tex] de desconto ou [tex](10\%)^2[/tex] de desconto?
Acertou se escolheu [tex]10\%[/tex] de desconto, pois [tex](10\%)^2[/tex] nada mais é que
[tex]\qquad \qquad\left(\dfrac{10}{100}\right)^2=\left(\dfrac{1}{10}\right)^2=\dfrac{1}{100}=1\%[/tex].

Entendeu porque é necessário saber operar com porcentagens?
Esse é um assunto da Matemática que é aplicado em
todos os ramos do conhecimento humano.

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Problemas


Que tal alguns problemas para exercitar?
Então cliquem no botão abaixo e

BOA DIVERSÃO!

Problemas

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Um joguinho para terminar


Querem aprender um pouco mais sobre porcentagem jogando?

Então cliquem na figura abaixo e divirtam-se com um jogo da memória em flash no qual vocês estabelecerão relações entre frações e suas correspondentes porcentagens! (Para o aplicativo funcionar, é necessário o reprodutor de multimídia Adobe Flash Player.)

Instruções para carregar o aplicativo

  • Quando solicitado, clique em ativar o plug-in Adobe Flash Player na telinha do jogo..
  • Quando solicitado,autorize a execução do Flash Player, clicando em Permitir na janelinha que abrirá no canto superior esquerdo ou direito da página.
    Observação: Esses dois passos deverão ser executados toda vez que você retornar a esta página, depois de ter fechado o Navegador.
  • Aguarde o jogo carregar.


Extraído de Banco Internacional de Objetos Educacionais



Equipe COM – OBMEP

Figuras, vídeos e material eventual adaptados ou extraídos de:
➨ Banco Internacional de Objetos Educacionais    (Último acesso em 23/11/16)
➨ 123 Para colorear    (Último acesso em 23/11/16)

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