.Sala para leitura_015: Cubos perfeitos consecutivos

Cubos perfeitos consecutivos


Chamamos de cubo perfeito a todo número inteiro da forma [tex]n^3[/tex], para algum [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].
Assim, ao afirmarmos que um inteiro [tex]m[/tex] é um cubo perfeito, isso significa que existe um número inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]m=n^3[/tex].

Rapidamente percebemos que os números naturais [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] são cubos perfeitos, pois [tex]0=0^3[/tex] e [tex]1=1^3[/tex], e são consecutivos.
Assim surge uma pergunta natural:

Existem outros naturais que sejam cubos perfeitos e consecutivos?

Vejamos…

Propriedade: Os únicos números naturais que são cubos e consecutivos são [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex].

Justificativa: Seja [tex]x[/tex] um número natural tal que [tex]~x^3+1[/tex] seja um cubo perfeito; assim, “[tex]x^3~[/tex] e [tex]~x^3+1[/tex] são cubos perfeitos e consecutivos”.
Como [tex]x^3+1[/tex] é um cubo natural, então [tex]x^3+1=z^3[/tex] para algum [tex]z \in \mathbb{N}[/tex] e, com isso, temos que [tex]\sqrt[3]{x^3+1}=\sqrt[3]{z^3}[/tex]. Sendo [tex]z[/tex] um número natural, consequentemente [tex]\sqrt[3]{x^3+1}[/tex] é um número natural.
No entanto, [tex]x^3+1 \gt x^3[/tex]; assim [tex]\sqrt[3]{ x^3+1} \gt \sqrt[3]{x^3}=x[/tex] e, portanto, existe um inteiro positivo [tex]a[/tex] tal que [tex]\sqrt[3]{ x^3+1}=x+a[/tex]. Dessa forma,
[tex]\qquad (x+a)^3=x^3+1.\qquad \qquad [/tex] (*)
Porém,
[tex]\qquad (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3, \qquad \qquad[/tex] (**)
assim, de (*) e de (**), segue que
f044[tex]\qquad x^3+3x^2a+3xa^2+a^3=x^3+1,[/tex]
donde
[tex]\qquad 3x^2a+3xa^2+a^3=1[/tex].
Como [tex]x[/tex], [tex]~a[/tex] e [tex]~3[/tex] são números naturais, perceba que as três parcelas da soma [tex]3x^2a+3xa^2+a^3[/tex] são também números naturais; logo, estamos nos propondo a escrever o número [tex]1[/tex] como soma de três números naturais. Mas, se [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] são números naturais tais que [tex]A+B+C=1[/tex], só temos três possibilidades:
[tex]A=B=0~[/tex] e [tex]~C=1[/tex],
[tex]A=C=0~[/tex] e [tex]~B=1[/tex],
[tex]B=C=0~[/tex] e [tex]~A=1[/tex],
então, no nosso caso, temos estas possibilidades:
(1) [tex]3x^2a=3xa^2=0~[/tex] e [tex]~a^3=1[/tex],
(2) [tex]3x^2a=a^3=0~[/tex] e [tex]~3xa^2=1[/tex],
(3) [tex]3xa^2=a^3=0~[/tex] e [tex]~3x^2a=1[/tex].
Por outro lado, note que [tex]~a[/tex] é um número natural não nulo; assim temos [tex]x \geqslant 0[/tex] e [tex]a \gt 0[/tex], donde podemos concluir que
[tex]\qquad \boxed{a^3\geqslant 1}[/tex], [tex]\boxed{3x^2a\geqslant 0}[/tex] e [tex]\boxed{3xa^2\geqslant 0}[/tex].
A desigualdade [tex]a^3\geqslant 1[/tex] aponta que as alternativas (2) e (3) não ocorrem, então necessariamente ocorre (1), ou seja, [tex]3x^2a=0[/tex], [tex]3xa^2=0[/tex] e [tex]~a^3=1[/tex].
De [tex]a^3=1[/tex], segue que [tex]a=1[/tex].
De [tex]3xa^2=0[/tex] e de [tex]a=1[/tex], segue que [tex]3x=0[/tex] e, assim, temos [tex]x=0[/tex].
Finalmente, [tex]x^3=0^3=0[/tex] e [tex](x+1)^3=1^3=1[/tex] e assim concluímos que:

O único caso possível de números naturais consecutivos que sejam cubos perfeitos ocorre para [tex]0~[/tex] e [tex]~1[/tex].

Observe que [tex]1^3=1[/tex], [tex]0^3=0[/tex] e [tex](-1)^3=-1[/tex]; logo, temos que:
[tex]-1[/tex] e [tex]0[/tex] são números inteiros consecutivos e cubos perfeitos;
[tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] são números inteiros consecutivos e cubos perfeitos.
Assim:
Será que esses são os únicos pares de inteiros consecutivos que são cubos perfeitos?
Mais ainda, [tex]-1[/tex], [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] é o único trio de inteiros consecutivos e cubos perfeitos?



Equipe COM – OBMEP

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