.Sala para leitura_006: Princípio Fundamental da Contagem

Nesta sala vamos falar um pouquinho sobre multiplicação.

Já entendi…
Lá vem aquela chatice chamada tabuada…

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Não se precipite…
Nós até vamos fazer algumas contas e talvez você precise da tabuada, mas o que pretendemos exercitar é o raciocínio combinatório, que, como você vai perceber, leva à multiplicação.

Raciocínio combinatório…
Tá, só se for para combinar que não vamos usar tabuada…

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Não é bem dessa combinação que estou falando e sim daquela que pode ser utilizada no nosso cotidiano para fazermos previsões e estimativas!
E uma ferramenta simples que pode ser usada nesse contexto é o Princípio Fundamental da Contagem.

Princípio Fundamental da Contagem


Vamos resolver alguns problemas sobre possibilidades de escolha e, em seguida, apresentar um princípio essencial para a resolução desse tipo de problema.
Desenvolveremos as soluções passo a passo, para que você as acompanhe sem grandes dificuldades.
Vamos lá?

Problema I:
Raíza tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai à escola de segunda a sexta, mas não quer repetir um mesmo conjunto de calça e camiseta na mesma semana.
Raíza conseguirá realizar seu desejo?

Solução:
       ● Se ela quer usar a primeira calça, pode combiná-la com qualquer uma das três camisetas, o que nos dá 3 visuais diferentes.
       ● Se ela usar a segunda calça, também vai poder combiná-la em 3 modelitos, um com cada camiseta.
O total de maneiras de combinar as peças é 3+3, ou seja, 2 × 3 = 6.
Então, Raíza conseguirá realizar o seu desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look, e ainda sobrará um look para o fim de semana…

Observações:
    ➊ No problema resolvido, Raíza tinha que escolher uma calça e uma camiseta para vestir. Essas escolhas, em problemas de combinatória, são chamadas eventos.
    ➋ Note que, se Raíza vestir qualquer uma das duas calças, isso não a impedirá de escolher entre três camisetas distintas. Para qualquer escolha da calça, há o mesmo número de escolha de camisetas, o que torna esses eventos independentes.
     ➌ Como vimos, continuaremos com a mesma quantidade de possibilidades para a escolha da camiseta em cada escolha de calça. Então, podemos chegar à resposta multiplicando o número de calças pelo número de camisetas, obtendo assim os 2 × 3 = 6 looks possíveis.
     ➍ Sem comprometer a generalidade do problema, podemos supor “que Raíza tenha uma calça preta, uma calça branca e que suas camisetas sejam vermelha, amarela e verde” e, assim, visualizar a quantidade de looks possíveis, utilizando o diagrama abaixo.
JUNTOS1
    Esse tipo de diagrama é conhecido como diagrama de árvore.

Problema II: Quantos diferentes percursos o ratinho da figura pode tomar para chegar ao queijo?
figura 2

Solução:
Assim que entra no labirinto, o ratinho se depara com a necessidade de escolher um dentre 2 caminhos.
Quando ele segue qualquer um dos dois caminhos, depara-se com 4 outras possibilidades de caminho e precisa escolher um. Percorrido o caminho escolhido, ele encontra o queijo.
Perceba, então, que a quantidade total de possibilidades para o percurso a ser seguido é 2 x 4=8.

Problema III: O majestoso rei Tim Timpor Tintim decidiu padronizar os azulejos de seu palácio.
Ele os quer em forma de hexágonos regulares, com um pequeno círculo em seu interior.
AzulejoO rei dispõe, segundo suas preferências pessoais, de 3 cores distintas para pintar o hexágono e de 4 cores distintas para pintar o círculo. Sabendo que as duas formas (hexágono e círculo) serão unicolores, quantas são as opções para o novo modelo de azulejo?

Solução:
Para cada uma das cores escolhidas para o hexágono, haverá 4 opções de cores para o círculo. Portanto, para cada opção de cor a ser utilizada no hexágono, há 4 azulejos possíveis. Como temos 3 opções de cores para o hexágono, há 3 × 4=12 opções para o azulejo do rei Tim.
Podemos elucidar nossa solução utilizando um diagrama de árvore que ilustra todas as possibilidades. Suponha que as cores selecionadas para o hexágono sejam “preto”, “vermelho” e “verde”, enquanto as cores selecionadas para o círculo são “azul”, “amarelo”, “roxo” e “marrom”. (Observe que a solução será a mesma para quaisquer opções de cores. Elas foram nomeadas, apenas, para facilitar o seu entendimento.)
Teremos, assim, as possibilidades ilustradas pelo diagrama a seguir.
Diagrama Azulejo

A essa altura, já podemos enunciar o Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Ele é extremamente útil quando o número de possibilidades é grande e o diagrama de árvore se torna muito, mas muito cansativo mesmo….

Princípio Multiplicativo – Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento A puder ocorrer de m maneiras, um evento B puder ocorrer de n maneiras e A for independente de B,
então a quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é m × n.

Problema IV:
Numa reunião havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Ceará.
Quando o grupo se reuniu, cada professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Ceará exatamente uma vez.
Quantos cumprimentos ocorreram?

Solução:
Como cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Ceará, o total de cumprimentos é o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do Sul e um do Ceará, simultaneamente.
Pelo Princípio Multiplicativo, o total é 6 x 7, ou seja, 42 cumprimentos.

Os problemas a seguir são para você pensar: tente resolvê-los sem ver as soluções.
– Se você conseguir, parabéns!
– Se não conseguir, não vale desanimar! Leia as soluções e tente aprender!
Bons estudos!

Problemas Propostos

Problema 1:
Quantos são os números naturais de 2 algarismos?

Resposta: 90.

Solução:
Há 9 maneiras de escolher o algarismo das dezenas (que não pode ser zero) e 10 maneiras de escolher o algarismo das unidades. Assim, o total de números naturais de 2 algarismos é 9 × 10 = 90.

Problema 2:
Quantos são os números ímpares entre 10 e 99 (incluindo o 99)?

Resposta: 45.

Solução:
Podemos obter cada um desses números escolhendo primeiro o dígito das dezenas e depois o das unidades:
     ● para escolher o dígito das dezenas, temos 9 possibilidades (não podemos escolher o 0);
     ● para escolher o dígito das unidades, temos 5 possibilidades (queremos números ímpares).
Como as escolhas são independentes, elas podem feitas de 9 × 5 = 45 maneiras diferentes, logo esta é a quantidade de números ímpares entre 10 e 99.
Observaram que 45 é a metade de 90 (resposta do problema anterior)?

 

Problema 3:
A senha secundária de um banco imaginário é composta por uma vogal e uma consoante, nessa ordem, ambas provenientes do nome do cliente. Qual cliente terá mais opções de senha, o senhor Darli Munhoz ou o senhor Thiago Bruce?

Resposta: Thiago Bruce.

Solução:
Para o senhor Darli Munhoz, há 4 possibilidades para a escolha da vogal e 7 possibilidades para a escolha da consoante. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, há 4 x 7=28 opções de senha para o senhor Darli.
Já para o senhor Thiago Bruce, há 5 possibilidades para a escolha da vogal e 6 possibilidades para a escolha da consoante. Assim sendo, há 5 x 6= 30 opções de senha para ele.
Logo, há mais alternativas para a escolha da senha do senhor Thiago.

Problema 4:
Considere que o ratinho do problema II, além de escolher entre os 8 caminhos, tivesse que escolher entre 4 tipos diferentes de queijo. Qual seria o total de maneiras de ele agir?

Resposta: 32.

Solução:
Vimos que há 8 caminhos possíveis e 4 escolhas diferentes para o queijo. Deste modo, o total de maneiras do rato agir é 8 x 4 = 32.

Problema 5:
E se a Raíza, do problema I, além das 6 possíveis combinações de blusa e saia, tivesse ainda 4 chapéus diferentes? Quantos looks ela poderia montar?

Resposta: 24.

Solução:
Basta multiplicar os 6 looks possíveis de blusas e saias pelas 4 possibilidades de chapéus.

Mas espera um pouco…
Nos problemas 4 e 5, temos, na verdade, três eventos independentes, não é?
No problema 4, a escolha da primeira parte do caminho, a escolha da segunda parte e a escolha do queijo.
No problema 5, temos as escolhas de camiseta, calça e chapéu

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Isso mesmo!
Parece que você entendeu o que são eventos independentes . . .
Mas você observou como os problemas foram resolvidos?
Veja bem…
   32 = 8 x 4 = 2 x 4 x 4     e     24 = 6 x 4 = 2 x 3 x 4…
O que podemos aprender com essas soluções?

Hum….
Vou pensar….

E aí



– Francimar de Brito Vieira
– Noemi Zeraick Monteiro
– Sonia Regina Di Giacomo
◆ Equipe COM – OBMEP
– Victor de Oliveira Bitarães
◆ Colaborador

Ficaram curiosos?
Visitem esta sala e leiam a continuação deste texto…

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