Problema
Considere dez pontos dispostos como na figura abaixo. Por cada dois pontos distintos é traçada uma reta.
Quantas retas distintas foram traçadas?
Solução
Para cada um dos [tex]10[/tex] pontos, teremos outros [tex]9[/tex] pontos para fazermos “par” com este primeiro e traçarmos uma reta sobre eles. Assim, a princípio, temos [tex]10\cdot9 = 90[/tex] pares.
Mas, nesse caso, estamos contando uma mesma reta duas vezes: a reta que passa por um ponto, digamos [tex]A[/tex], e por outro ponto, digamos [tex]B[/tex], é a mesma que passa pelo ponto [tex]B[/tex] e pelo ponto [tex]A[/tex]. Logo foram traçadas, a princípio, [tex]\dfrac{90}{2} = 45[/tex] retas.
No entanto, ainda estamos contando retas repetidas, veja:
As retas vermelhas e verdes se repetem, pois passam por mais de dois pontos na figura.
- As retas vermelhas passam por [tex]4[/tex] pontos e há [tex]C^2_4 = \dfrac{4!}{2!(4 -2)!} = \dfrac{12}{2} = 6[/tex] maneiras de escolhermos [tex]2[/tex] pontos dentre esses [tex]4[/tex]. Assim, contamos cada reta vermelha [tex]6[/tex] vezes; como queremos contar apenas retas distintas, dentre as retas vermelhas temos [tex]3\cdot(6 -1) = 15[/tex] retas que precisamos “excluir”.
- Utilizando o mesmo raciocínio com relação às retas verdes, vemos que elas passam por [tex]3[/tex] pontos e há [tex]C^2_3 = \dfrac{3!}{2!(3 – 2)!} = 3[/tex] maneiras de escolhermos [tex]2[/tex] pontos dentre [tex]3[/tex]. Assim, temos que “excluir” [tex]\,3\cdot(3-1) = 6[/tex] retas verdes.
Portanto, foram traçadas exatamente [tex]\boxed{\,45-15-6 = 24\,}[/tex] retas distintas.
Solução elaborada pelas alunas do PIC-OBMEP Andressa Wickert Kreutz e Noemi Zeraick Monteiro.