Sala de Estudos: Sistema de Numeração Romano – SUBTRAÇÃO

Algoritmo da subtração


O algoritmo da subtração que apresentaremos tem como finalidade obter diferenças do tipo [tex]a-b[/tex], sendo [tex]a,b[/tex] números naturais, com [tex]a \gt b[/tex], e para isso o objetivo será eliminar todos os símbolos romanos que aparecem em [tex]b[/tex]. Lembrem-se sempre disso:

eliminar todos os símbolos do segundo número (subtraendo).

O algoritmo

Etapa 1: Descompactar todas as notações subtrativas de cada um dos dois termos da subtração: minuendo e subtraendo.

  • Por exemplo: transformar [tex]IV[/tex] em [tex]IIII[/tex]; transformar [tex]IX[/tex] em [tex]VIIII[/tex]; transformar [tex]XL[/tex] em [tex]XXXX[/tex]; etc.

Etapa 2: Qualquer símbolo que ocorra no segundo valor deve ser “riscado” no primeiro.

  • Se um símbolo aparecer explicitamente no primeiro número, simplesmente risque-o.
    • Por exemplo, na subtração [tex]XXVII-XVI[/tex], basta eliminarmos os símbolos comuns dos dois números (minuendo e subtraendo):[tex]X\bcancel{\textcolor{#FF00FF}{X}}\bcancel{\textcolor{blue}{V}}I\bcancel{\textcolor{red}{I}}-\bcancel{\textcolor{#FF00FF}{X}} \bcancel{\textcolor{blue}{V}}\bcancel{\textcolor{red}{I}}[/tex].
  • Se um símbolo do segundo número não aparecer explicitamente no primeiro, converta um símbolo “maior” do primeiro número em múltiplos apropriados do símbolo a ser eliminado e, em seguida, risque-o.
    • Na subtração [tex]LV-XXII[/tex], observe que no primeiro número não temos os símbolos [tex]I[/tex] e [tex]X[/tex] a serem eliminados do segundo número. Mas podemos converter [tex]V[/tex] em [tex]IIIII[/tex] e [tex]L[/tex] em [tex]XXXXX[/tex]:
      [tex]\qquad \qquad LV-XXII~\mapsto~(XXXXX)(IIIII)-XXII[/tex].
      [tex]\qquad \qquad(XXX\cancel{\textcolor{blue}{XX}})(III\cancel{\textcolor{red}{II}})-\cancel{\textcolor{blue}{XX}}\cancel{\textcolor{red}{II}}.[/tex]

Etapa 3: Reescrever o primeiro número, minuendo, sem os símbolos riscados.

  • Voltando à subtração [tex]XXVII-XVI[/tex]:
    [tex]\qquad \qquad X\bcancel{\textcolor{#FF00FF}{X}}\bcancel{\textcolor{blue}{V}}I\bcancel{\textcolor{red}{I}}-\bcancel{\textcolor{#FF00FF}{X}} \bcancel{\textcolor{blue}{V}}\bcancel{\textcolor{red}{I}}~\mapsto~XI[/tex].
  • Na subtração [tex]LV-XXII[/tex]:
    [tex]\qquad \qquad(XXX\cancel{\textcolor{blue}{XX}})(III\cancel{\textcolor{red}{II}})-\cancel{\textcolor{blue}{XX}}\cancel{\textcolor{red}{II}}~\mapsto~ XXXIII[/tex].

Etapa 4: Verificar se existe algum agrupamento do mesmo símbolo que possa ser substituído por um único símbolo, de maneira que seja mantida a soma dos valores dos símbolos que serão substituídos, e fazer as respectivas substituições. Se a Etapa 2 for feita com o devido cuidado, então não haverá nada para se fazer na Etapa 4.
Etapa 5: Sempre que necessário, compactar os símbolos finais obtidos pelas sucessivas aplicações da Etapa 4, utilizando as regras subtrativas.




Alguns exemplos

Exemplo 1: [tex]DXXVI – CXIV[/tex]

Etapa 1: [tex] DXXVI – CX\textcolor{#00FF00}{IV} \mapsto DXXVI – CX(IIII)[/tex]
Etapa 2:[tex]DX\cancel{\textcolor{blue}{X}}V\cancel{\textcolor{red}{I}} – C\cancel{\textcolor{blue}{X}}(III\cancel{\textcolor{red}{I}})\mapsto DXV-C(III)[/tex]
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#00FF00}{D}X\textcolor{#00FF00}{V}-C(III)~\mapsto~(CCCCC)X(IIIII)-C(III)[/tex]
[tex]\qquad \qquad (\cancel{\textcolor{blue}{C}}CCCC)X(\cancel{\textcolor{red}{III}}II)-\cancel{\textcolor{blue}{C}}(\cancel{\textcolor{red}{III}})[/tex]
Etapa 3: [tex] (CCCC)XII[/tex]
Etapa 4: [tex] (CCCC)XII[/tex]
Etapa 5: [tex] (\textcolor{red}{CCCC})XII~\mapsto~(\textcolor{red}{CD})XII[/tex]

Assim, [tex]\boxed{DXXVI – CXIV=CDXII}[/tex]


Exemplo 2: [tex]DLXIII – XCVI[/tex]

Etapa 1: [tex]DLXIII – \textcolor{#00FF00}{XC}VI ~\mapsto~ DLXIII – LXXXXVI[/tex]
Etapa 2: [tex]D\cancel{\textcolor{#FF00FF}{L}}\cancel{\textcolor{blue}{X}}II\cancel{\textcolor{red}{I}} – \cancel{\textcolor{#FF00FF}{L}}XXX\cancel{\textcolor{blue}{X}}V\cancel{\textcolor{red}{I}}~\mapsto~DII – XXXV[/tex]
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#00FF00}{D}II – XXXV~\mapsto~(CCCCC)II – XXXV[/tex]
[tex]\qquad \qquad (CCCC\textcolor{#00FF00}{C})II – XXXV~\mapsto~(CCCC(LXXXXX))II – XXXV[/tex]
[tex]\qquad \qquad (CCCC)(LXX\cancel{\textcolor{red}{XXX}})II – \cancel{\textcolor{red}{XXX}}V~\mapsto~(CCCC)(LXX)II -V[/tex]
[tex]\qquad \qquad (CCCC)(LX\textcolor{#00FF00}{X})II -V~\mapsto~(CCCC)(LX(VV))II -V [/tex]
[tex]\qquad \qquad (CCCC)(LX(V\cancel{\textcolor{blue}{V}}))II -\cancel{\textcolor{blue}{V}} [/tex]
Etapa 3: [tex](CCCC)LXVII [/tex]
Etapa 4: [tex](CCCC)LXVII [/tex]
Etapa 5: [tex] (\textcolor{red}{CCCC})LXVII~\mapsto~(\textcolor{red}{CD})LXVII[/tex]

Assim, [tex]\boxed{DLXIII – XCVI=CDLXVII}[/tex]


Conferindo: Vocês podem verificar se as contas estão corretas, convertendo os valores para a notação regular:

  • [tex]\boxed{DXXVI – CXIV=CDXII}\mapsto \boxed{526-114=412}[/tex] ✓
  • [tex]\boxed{DLXIII – XCVI=CDLXVII}\mapsto \boxed{563-96=467}[/tex] ✓

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